Considere o conjunto
e o conjunto de escalares
, com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas em
e
por:
.
Afirmaçōes:
I
II Se
então
III Se
então
IV
Estão corretas as afirmativas:
(A) Apenas III e IV
Afirmaçōes:
I
II Se
III Se
IV
Estão corretas as afirmativas:
(A) Apenas III e IV
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com as operações, para
e
:
As afirmativas a verificar são:
I .
II Se então
.
III Se então
.
IV .
I
II Se
III Se
IV
Passo 2
Verificar I: escrevo
e
e comparo coordenadas.
Como a adição de reais é comutativa,
e
. Logo as duas coordenadas coincidem e
Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Explicação didática rápida: para checar comutatividade em somas coordenada a coordenada, basta verificar que a operação em cada coordenada é comutativa. Aqui as expressões em cada coordenada usam soma usual de reais, que é comutativa.
Passo 3
Verificar II: seja
um candidato a neutro aditivo tal que para todo
Escrevendo a soma:
Igualando coordenadas obtemos duas equações:
Portanto
. Também dá para checar
(mesma conta, a definição de soma é simétrica nos termos que aparecem). Logo a afirmativa II é verdadeira.
Aula curta: o neutro aditivo
é o vetor que, somado a qualquer
, deixa
sem alteração; basta resolver as equações coordenada a coordenada usando a regra de soma dada.
Passo 4
Verificar III: queremos o vetor
tal que
. Já sabemos que
. Escrevo
e imponho
Igualando coordenadas:
Portanto
que é a mesma coisa que
. Isso mostra que a afirmativa III é verdadeira.
Comentário didático: o inverso aditivo é encontrado resolvendo
para as componentes de
, usando o neutro que já determinamos.
Passo 5
Verificar IV: calculo
pela regra de multiplicação por escalar:
Comparando com
, vemos que
ocorreria somente se
para todo
, o que não é verdade (existem vetores com
). Logo a igualdade
não vale em geral, e a afirmativa IV é falsa.
Aula curta: em espaços vetoriais “normais” espera-se que
para todo
; aqui a definição de multiplicação por escalar foi alterada (primeira coordenada fica sempre
), por isso a propriedade falha.
Passo 6
Resumo das verdades:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
- IV é falsa.
Logo as afirmativas corretas são I, II e III.
Resposta
I, II e III