Considere o conjunto V=\mathbb{R}^{2} e o conjunto de escalares \mathbb{K}=\mathbb{R}, com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas em u=\left(u_{1}, u_{2}\right) e v=\left(v_{1}, v_{2}\right) por:
u+v=\left(u_{1}+v_{1}-1, u_{2}+v_{2}\right), \alpha u=\left(0, \alpha u_{2}\right).
Afirmaçōes:
I u+v=v+u
II Se u+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+u=u então \overrightarrow{0}=(1,0)
III Se u+(-u)=\overrightarrow{0} então -u=\left(-u_{1}+2,-u_{2}\right)
IV 1 u=u
Estão corretas as afirmativas:
(A) Apenas III e IV

Passo 1

O enunciado dá o conjunto V=\mathbb{R}^2 com as operações, para u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2):
u+v=(u_1+v_1-1,\;u_2+v_2), \qquad \alpha u=(0,\;\alpha u_2).
As afirmativas a verificar são:
I \;u+v=v+u.
II Se u+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+u=u então \overrightarrow{0}=(1,0).
III Se u+(-u)=\overrightarrow{0} então -u=\left(-u_{1}+2,-u_{2}\right).
IV \;1 u=u.

Passo 2

Verificar I: escrevo u+v e v+u e comparo coordenadas.
u+v=(u_1+v_1-1,\;u_2+v_2), \qquad v+u=(v_1+u_1-1,\;v_2+u_2).
Como a adição de reais é comutativa, u_1+v_1=v_1+u_1 e u_2+v_2=v_2+u_2. Logo as duas coordenadas coincidem e
u+v=v+u.
Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Explicação didática rápida: para checar comutatividade em somas coordenada a coordenada, basta verificar que a operação em cada coordenada é comutativa. Aqui as expressões em cada coordenada usam soma usual de reais, que é comutativa.

Passo 3

Verificar II: seja \overrightarrow{0}=(z_1,z_2) um candidato a neutro aditivo tal que para todo u
u+\overrightarrow{0}=u.
Escrevendo a soma:
u+\overrightarrow{0}=(u_1+z_1-1,\;u_2+z_2) \stackrel{!}{=} (u_1,u_2).
Igualando coordenadas obtemos duas equações:
u_1+z_1-1=u_1 \quad\Rightarrow\quad z_1-1=0 \\ \Rightarrow\\ z_1=1,
u_2+z_2=u_2 \quad\Rightarrow\quad z_2=0.
Portanto \overrightarrow{0}=(1,0). Também dá para checar \overrightarrow{0}+u=u (mesma conta, a definição de soma é simétrica nos termos que aparecem). Logo a afirmativa II é verdadeira.
Aula curta: o neutro aditivo 0 é o vetor que, somado a qualquer u, deixa u sem alteração; basta resolver as equações coordenada a coordenada usando a regra de soma dada.

Passo 4

Verificar III: queremos o vetor -u tal que u+(-u)=\overrightarrow{0}. Já sabemos que \overrightarrow{0}=(1,0). Escrevo -u = (x_1,x_2) e imponho
u+(-u)=(u_1+x_1-1,\;u_2+x_2)=(1,0).
Igualando coordenadas:
u_1+x_1-1=1 \quad\Rightarrow\quad x_1=2-u_1,
u_2+x_2=0 \quad\Rightarrow\quad x_2=-u_2.
Portanto
-u=(2-u_1,\;-u_2),
que é a mesma coisa que \left(-u_1+2,\,-u_2\right). Isso mostra que a afirmativa III é verdadeira.
Comentário didático: o inverso aditivo é encontrado resolvendo u+v=0 para as componentes de v, usando o neutro que já determinamos.

Passo 5

Verificar IV: calculo 1u pela regra de multiplicação por escalar:
1u=(0,\;1\cdot u_2)=(0,u_2).
Comparando com u=(u_1,u_2), vemos que 1u=u ocorreria somente se u_1=0 para todo u, o que não é verdade (existem vetores com u_1\neq0). Logo a igualdade 1u=u não vale em geral, e a afirmativa IV é falsa.
Aula curta: em espaços vetoriais “normais” espera-se que 1u=u para todo u; aqui a definição de multiplicação por escalar foi alterada (primeira coordenada fica sempre 0), por isso a propriedade falha.

Passo 6

Resumo das verdades:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
  • IV é falsa.
Logo as afirmativas corretas são I, II e III.

Resposta

I, II e III

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