Considere o espaço vetorial
, com as operaçōes de soma e multiplicação por escalar usuais de
. Não são subespaços de
:
I O conjunto de todos os vetores da forma
tais que
.
II O conjunto de todas as combinações lineares de
e
.
III O conjunto de todos os vetores da forma
.
a)
e III
II O conjunto de todas as combinações lineares de
III O conjunto de todos os vetores da forma
a)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede identificar quais dos conjuntos I, II e III NÃO são subespaços de
. - Informações fornecidas (literalmente os conjuntos):
- I: o conjunto de todos os vetores da forma
tais que . - II: o conjunto de todas as combinações lineares de
e . - III: o conjunto de todos os vetores da forma
.
- I: o conjunto de todos os vetores da forma
Passo 2
Lembrete preciso e simples do que é ser subespaço (condições que vou usar).
Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se as três condições seguintes valem (estas são as que vou checar):
-
contém o vetor zero de . -
é fechado sob soma: se e , então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e , então .
Explicação curta por que estas condições são suficientes: o espaço vetorial tem axiomas que envolvem soma e multiplicação por escalares; um subespaço precisa respeitar essas mesmas operações, por isso precisa ter zero e fechar-se nessas operações. Na prática, para mostrar que algo NÃO é subespaço basta encontrar uma falha em qualquer uma das três (normalmente fechamentos falham).
Passo 3
Análise do conjunto I:
.
- Verificando o vetor zero: para
e temos . Então pertence a I — isso por si só não garante que I é subespaço. - Teste de fechamento por multiplicação escalar (estratégia: tento achar
e tais que ). Escolho um vetor simples que satisfaça a condição: - Tome
. Verifico: e , logo . - Multiplico por
: . - Para
a condição exigiria , ou seja , o que é falso.
- Tome
- Conclusão:
, portanto I não é fechada por multiplicação escalar e, assim, I NÃO é subespaço.
Comentário didático: a razão é que a condição
é não linear em
(tem
), e subespaços exigem relações lineares (fechamento por escalares), então sentimos esse tipo de falha.
Passo 4
Análise do conjunto II: conjunto de todas as combinações lineares de
e
.
- Observação conceitual importante: o conjunto de todas as combinações lineares de alguns vetores é exatamente o “span” (ou subespaço gerado) desses vetores. Por definição,
. - Prova direta das condições:
- Zero: tomando
e obtemos , logo o zero está no conjunto. - Fechamento por soma: sejam
e dois elementos do conjunto. Então que é outra combinação linear de e . Logo pertence ao conjunto. - Fechamento por escalar: para
, que é também uma combinação linear de .
- Zero: tomando
- Conclusão: o conjunto II é um subespaço de
(é o span de e ). Portanto II é subespaço, logo NÃO entra na lista dos que NÃO são subespaços.
Passo 5
Análise do conjunto III: todos vetores da forma
.
- Podemos mostrar que este conjunto é igual a
, onde e . - Dado um vetor
, temos . Então todo vetor de III é combinação linear de e . - Reciprocamente, qualquer combinação
tem forma , logo pertence a III.
- Dado um vetor
- Como é um span de vetores, aplica-se o mesmo argumento do Passo 4: contém zero, fecha-se em soma e em multiplicação por escalar.
- Conclusão: III é subespaço de
. Portanto III também NÃO entra na lista dos que NÃO são subespaços.
Passo 6
Resumo final (resumo claro antes da resposta final).
- I falha (não é subespaço) porque não é fechada por multiplicação escalar: exemplifiquei com
e I. - II é subespaço (é
). - III é subespaço (é
).
Resposta
I