Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{4}, com as operaçōes de soma e multiplicação por escalar usuais de \mathbb{R}^{4}. Não são subespaços de \mathbb{R}^{4} :
I O conjunto de todos os vetores da forma (a, b, c, d) tais que a=b^{2}+c.
II O conjunto de todas as combinações lineares de v_{1}=(1,-5,0,4) e v_{2}=(3,-1,2,2).
III O conjunto de todos os vetores da forma (0, b, 0, d).
a) \mathrm{I}, \mathrm{II} e III

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede identificar quais dos conjuntos I, II e III NÃO são subespaços de \mathbb{R}^{4}.
  • Informações fornecidas (literalmente os conjuntos):
    • I: o conjunto de todos os vetores da forma (a,b,c,d) tais que a = b^{2} + c.
    • II: o conjunto de todas as combinações lineares de v_{1} = (1,-5,0,4) e v_{2} = (3,-1,2,2).
    • III: o conjunto de todos os vetores da forma (0,b,0,d).

Passo 2

Lembrete preciso e simples do que é ser subespaço (condições que vou usar).
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se as três condições seguintes valem (estas são as que vou checar):
  1. W contém o vetor zero de V.
  2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in W.
Explicação curta por que estas condições são suficientes: o espaço vetorial tem axiomas que envolvem soma e multiplicação por escalares; um subespaço precisa respeitar essas mesmas operações, por isso precisa ter zero e fechar-se nessas operações. Na prática, para mostrar que algo NÃO é subespaço basta encontrar uma falha em qualquer uma das três (normalmente fechamentos falham).

Passo 3

Análise do conjunto I: \{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^{4} \mid a = b^{2} + c\}.
  • Verificando o vetor zero: para b=0 e c=0 temos a=0^{2}+0=0. Então (0,0,0,0) pertence a I — isso por si só não garante que I é subespaço.
  • Teste de fechamento por multiplicação escalar (estratégia: tento achar v\in I e \lambda\in\mathbb{R} tais que \lambda v\notin I). Escolho um vetor simples que satisfaça a condição:
    • Tome v=(1,1,0,0). Verifico: a=1 e b^{2}+c=1^{2}+0=1, logo v\in I.
    • Multiplico por \lambda=2: \lambda v = 2v = (2,2,0,0).
    • Para 2v a condição exigiria a = b^{2}+c, ou seja 2 = 2^{2}+0 = 4, o que é falso.
  • Conclusão: 2v\notin I, portanto I não é fechada por multiplicação escalar e, assim, I NÃO é subespaço.
Comentário didático: a razão é que a condição a=b^{2}+c é não linear em b (tem b^{2}), e subespaços exigem relações lineares (fechamento por escalares), então sentimos esse tipo de falha.

Passo 4

Análise do conjunto II: conjunto de todas as combinações lineares de v_{1}=(1,-5,0,4) e v_{2}=(3,-1,2,2).
  • Observação conceitual importante: o conjunto de todas as combinações lineares de alguns vetores é exatamente o “span” (ou subespaço gerado) desses vetores. Por definição, \operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}=\{\alpha v_{1}+\beta v_{2} \mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}.
  • Prova direta das condições:
    • Zero: tomando \alpha=0 e \beta=0 obtemos 0\cdot v_{1}+0\cdot v_{2}=(0,0,0,0), logo o zero está no conjunto.
    • Fechamento por soma: sejam u=\alpha v_{1}+\beta v_{2} e w=\gamma v_{1}+\delta v_{2} dois elementos do conjunto. Então u+w = (\alpha+\gamma)v_{1}+(\beta+\delta)v_{2},que é outra combinação linear de v_{1} e v_{2}. Logo u+w pertence ao conjunto.
    • Fechamento por escalar: para \lambda\in\mathbb{R}, \lambda u = \lambda(\alpha v_{1}+\beta v_{2}) = (\lambda\alpha)v_{1}+(\lambda\beta)v_{2},que é também uma combinação linear de v_{1},v_{2}.
  • Conclusão: o conjunto II é um subespaço de \mathbb{R}^{4} (é o span de v_{1} e v_{2}). Portanto II é subespaço, logo NÃO entra na lista dos que NÃO são subespaços.

Passo 5

Análise do conjunto III: todos vetores da forma (0,b,0,d).
  • Podemos mostrar que este conjunto é igual a \operatorname{span}\{e_{2},e_{4}\}, onde e_{2} = (0,1,0,0) e e_{4}=(0,0,0,1).
    • Dado um vetor w=(0,b,0,d), temos w = b\cdot e_{2} + d\cdot e_{4}. Então todo vetor de III é combinação linear de e_{2} e e_{4}.
    • Reciprocamente, qualquer combinação b\cdot e_{2}+d\cdot e_{4} tem forma (0,b,0,d), logo pertence a III.
  • Como é um span de vetores, aplica-se o mesmo argumento do Passo 4: contém zero, fecha-se em soma e em multiplicação por escalar.
  • Conclusão: III é subespaço de \mathbb{R}^{4}. Portanto III também NÃO entra na lista dos que NÃO são subespaços.

Passo 6

Resumo final (resumo claro antes da resposta final).
  • I falha (não é subespaço) porque não é fechada por multiplicação escalar: exemplifiquei com v=(1,1,0,0) e 2v\notin I.
  • II é subespaço (é \operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}).
  • III é subespaço (é \operatorname{span}\{e_{2},e_{4}\}).

Resposta

I

Exercícios relacionados