Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{4}, com as operaçōes de soma e multiplicação por escalar usuais de \mathbb{R}^{4}. Sāo subespaços de \mathbb{R}^{4} :
I O conjunto de todos os vetores da forma (a, b, c, d) tais que a=c e b=d.
II O conjunto de todos os múltiplos escalares de (1,2,3,4).
III O conjunto de todos os vetores da forma (a, b, c, d) tais que b=2 c+d^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{4} com operações usuais e apresenta três subconjuntos de V. As perguntas são: quais desses conjuntos são subespaços de \mathbb{R}^{4}? Vou listar os conjuntos exatamente como dados:
  • I: o conjunto de todos os vetores (a,b,c,d) tais que a=c e b=d.
  • II: o conjunto de todos os múltiplos escalares de (1,2,3,4).
  • III: o conjunto de todos os vetores (a,b,c,d) tais que b=2c+d^{2}.

Passo 2

Relembrando a definição (útil para a prova): um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{4} é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
  1. \mathbf{0}\in W, onde \mathbf{0}=(0,0,0,0).
  2. Fechamento sob adição: se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: se \mathbf{u}\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda\mathbf{u}\in W.
Esses três critérios são equivalentes à propriedade mais geral: W é um subespaço quando é não vazio e fechado para combinações lineares. Na prática, para cada conjunto vou verificar (1) a presença do vetor zero (ou mostrar não vazio), (2) fechamento por soma e (3) fechamento por escalar. Se alguma falhar, o conjunto não é subespaço.

Passo 3

Analisando o conjunto I: \{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^{4}\mid a=c,\\ b=d\}.
  1. Forma mais explícita: todo vetor desse conjunto tem a forma (a,b,a,b). Posso reescrever (a,b,a,b) como combinação linear
(a,b,a,b)=a\,(1,0,1,0)+b\,(0,1,0,1).
Isto mostra que qualquer vetor do conjunto é combinação linear dos vetores (1,0,1,0) e (0,1,0,1).
  1. Verificação direta das propriedades:
  • Vetor zero: escolhendo a=0 e b=0 obtém-se (0,0,0,0). Logo \mathbf{0} pertence ao conjunto.
  • Fechamento por adição: sejam (a_{1},b_{1},a_{1},b_{1}) e (a_{2},b_{2},a_{2},b_{2}) dois vetores do conjunto. A soma é
(a_{1}+a_{2},\,b_{1}+b_{2},\,a_{1}+a_{2},\,b_{1}+b_{2}),
que tem novamente primeira coordenada igual à terceira e segunda igual à quarta, logo pertence ao conjunto.
  • Fechamento por escalar: para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda(a,b,a,b)=(\lambda a,\lambda b,\lambda a,\lambda b),
que também satisfaz as igualdades coordenada 1 = coordenada 3 e coordenada 2 = coordenada 4.
  1. Observação útil: o conjunto é exatamente o subespaço gerado por (1,0,1,0) e (0,1,0,1), ou seja \text{span}\{(1,0,1,0),(0,1,0,1)\}, portanto é fechado para combinações lineares.
Portanto o conjunto I satisfaz os três critérios de subespaço (contém o zero, fechado para soma e para escalares).

Passo 4

Analisando o conjunto II: o conjunto de todos os múltiplos escalares de (1,2,3,4). Em notação,
\{\,t(1,2,3,4)\mid t\in\mathbb{R}\,\}=\text{span}\{(1,2,3,4)\}.
  1. Este é um conjunto do tipo “reta através da origem” em \mathbb{R}^{4}. Verificações:
  • Vetor zero: colocar t=0 0\cdot(1,2,3,4)=(0,0,0,0), logo \mathbf{0} pertence ao conjunto.
  • Fechamento por adição: se t_{1}(1,2,3,4) e t_{2}(1,2,3,4) estão no conjunto, a soma é
t_{1}(1,2,3,4)+t_{2}(1,2,3,4)=(t_{1}+t_{2})(1,2,3,4),
que é outro múltiplo escalar do mesmo vetor, logo permanece no conjunto.
  • Fechamento por escalar: para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda\big(t(1,2,3,4)\big)=(\lambda t)(1,2,3,4),
novamente um múltiplo escalar.
  1. Conclusão técnica: qualquer subespaço gerado por um único vetor é sempre um subespaço (é uma reta linear passando pela origem). Logo o conjunto II satisfaz as propriedades.

Passo 5

Analisando o conjunto III: \{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^{4}\mid b=2c+d^{2}\}.
  1. Verificação do vetor zero: para a=0,c=0,d=0 temos b=2\cdot0+0^{2}=0, então \mathbf{0}=(0,0,0,0) pertence ao conjunto — o conjunto é não vazio.
  2. O ponto crítico é a verificação de fechamento por multiplicação por escalar (ou por adição). Note que a condição contém um termo quadrático d^{2}, que geralmente inviabiliza linearidade. Vou mostrar explicitamente que fechamento por escalares falha com um contraexemplo simples.
Escolha o vetor
\mathbf{v}=(0,1,0,1),
que satisfaz b=1, c=0, d=1 e 1=2\cdot0+1^{2}, portanto \mathbf{v} pertence ao conjunto III.
Considere o escalar \lambda=2. Então
2\mathbf{v}=(0,2,0,2).
Para que 2\mathbf{v} pertença ao conjunto III, sua segunda coordenada (que é 2) deveria satisfazer a relação
b' = 2c' + (d')^{2}.
Aqui c'=0 e d'=2, então o lado direito vale 2\cdot0 + 2^{2}=4, enquanto b'=2. Como 2\neq 4, o vetor 2\mathbf{v} não satisfaz a condição e portanto 2\mathbf{v}\notin III.
  1. Conclusão técnica: falha do fechamento por escalares implica que III não é subespaço. (Também poderia-se mostrar que soma de dois vetores da forma dada pode falhar, por causa dos termos d^{2}.)

Passo 6

Resumo do raciocínio usado para cada caso:
  • I: reescrevi os vetores como combinações lineares de dois vetores fixos e verifiquei fechamento e presença do zero.
  • II: reconheci que é o span de um vetor; spans são subespaços (fechamento e zero).
  • III: a presença do termo não linear d^{2} permite um contraexemplo que quebra fechamento por escalares, então não é subespaço.

Resposta

I) é subespaço de \mathbb{R}^{4}.
II) é subespaço de \mathbb{R}^{4}.
III) não é subespaço de \mathbb{R}^{4}.

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