Considere o espaço vetorial
, com as operaçōes de soma e multiplicação por escalar usuais de
. Sāo subespaços de
:
I O conjunto de todos os vetores da forma
tais que
e
.
II O conjunto de todos os múltiplos escalares de
.
III O conjunto de todos os vetores da forma
tais que
.
II O conjunto de todos os múltiplos escalares de
III O conjunto de todos os vetores da forma
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com operações usuais e apresenta três subconjuntos de
. As perguntas são: quais desses conjuntos são subespaços de
? Vou listar os conjuntos exatamente como dados:
- I: o conjunto de todos os vetores
tais que e . - II: o conjunto de todos os múltiplos escalares de
. - III: o conjunto de todos os vetores
tais que .
Passo 2
Relembrando a definição (útil para a prova): um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
-
, onde . - Fechamento sob adição: se
e então . - Fechamento sob multiplicação por escalar: se
e então .
Esses três critérios são equivalentes à propriedade mais geral:
é um subespaço quando é não vazio e fechado para combinações lineares. Na prática, para cada conjunto vou verificar (1) a presença do vetor zero (ou mostrar não vazio), (2) fechamento por soma e (3) fechamento por escalar. Se alguma falhar, o conjunto não é subespaço.
Passo 3
Analisando o conjunto I:
.
- Forma mais explícita: todo vetor desse conjunto tem a forma
. Posso reescrever como combinação linear
Isto mostra que qualquer vetor do conjunto é combinação linear dos vetores
e
.
- Verificação direta das propriedades:
- Vetor zero: escolhendo
e obtém-se . Logo pertence ao conjunto. - Fechamento por adição: sejam
e dois vetores do conjunto. A soma é
que tem novamente primeira coordenada igual à terceira e segunda igual à quarta, logo pertence ao conjunto.
- Fechamento por escalar: para
,
que também satisfaz as igualdades coordenada 1 = coordenada 3 e coordenada 2 = coordenada 4.
- Observação útil: o conjunto é exatamente o subespaço gerado por
e , ou seja , portanto é fechado para combinações lineares.
Portanto o conjunto I satisfaz os três critérios de subespaço (contém o zero, fechado para soma e para escalares).
Passo 4
Analisando o conjunto II: o conjunto de todos os múltiplos escalares de
. Em notação,
- Este é um conjunto do tipo “reta através da origem” em
. Verificações:
- Vetor zero: colocar
dá , logo pertence ao conjunto. - Fechamento por adição: se
e estão no conjunto, a soma é
que é outro múltiplo escalar do mesmo vetor, logo permanece no conjunto.
- Fechamento por escalar: para
,
novamente um múltiplo escalar.
- Conclusão técnica: qualquer subespaço gerado por um único vetor é sempre um subespaço (é uma reta linear passando pela origem). Logo o conjunto II satisfaz as propriedades.
Passo 5
Analisando o conjunto III:
.
-
Verificação do vetor zero: para
temos , então pertence ao conjunto — o conjunto é não vazio. -
O ponto crítico é a verificação de fechamento por multiplicação por escalar (ou por adição). Note que a condição contém um termo quadrático
, que geralmente inviabiliza linearidade. Vou mostrar explicitamente que fechamento por escalares falha com um contraexemplo simples.
Escolha o vetor
que satisfaz
,
,
e
, portanto
pertence ao conjunto III.
Considere o escalar
. Então
Para que
pertença ao conjunto III, sua segunda coordenada (que é
) deveria satisfazer a relação
Aqui
e
, então o lado direito vale
, enquanto
. Como
, o vetor
não satisfaz a condição e portanto
III.
- Conclusão técnica: falha do fechamento por escalares implica que III não é subespaço. (Também poderia-se mostrar que soma de dois vetores da forma dada pode falhar, por causa dos termos
.)
Passo 6
Resumo do raciocínio usado para cada caso:
- I: reescrevi os vetores como combinações lineares de dois vetores fixos e verifiquei fechamento e presença do zero.
- II: reconheci que é o span de um vetor; spans são subespaços (fechamento e zero).
- III: a presença do termo não linear
permite um contraexemplo que quebra fechamento por escalares, então não é subespaço.
Resposta
I) é subespaço de
.
II) é subespaço de .
III) não é subespaço de .
II) é subespaço de
III) não é subespaço de