Seja P_{2} o espaço vetorial sobre \mathbb{R} dos polinômios de grau menor ou igual a 2 . Não é um subespaço vetorial de P_{2} :
a) O conjunto dos polinômios da forma a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}, tais que a_{0}+a_{1}=0.
b) O conjunto dos polinômios de grau zero.
c) O conjunto dos polinômios da forma a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}, tais que a_{0}=2 a_{2}.
d) O conjunto \left\{v_{1}, v_{2}\right\} onde v_{1}=3 x-1 e v_{2}=x^{2}+1.
e) O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial P_{2} (polinômios sobre \mathbb{R} de grau \le 2) e pede identificar quais dos conjuntos listados NÃO são subespaços vetoriais de P_{2}.
As informações fornecidas (cada conjunto é um subconjunto de P_{2}):
  • (a) \{\,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mid a_{0}+a_{1}=0\,\}.
  • (b) o conjunto dos polinômios de grau zero (isto é, polinômios constantes).
  • (c) \{\,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mid a_{0}=2a_{2}\,\}.
  • (d) o conjunto \{v_{1},v_{2}\} com v_{1}=3x-1 e v_{2}=x^{2}+1 (apenas esses dois vetores).
  • (e) o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1 (ou seja, polinômios a_{0}+a_{1}x).
O que se pede: indicar quais desses conjuntos NÃO são subespaços de P_{2}.

Passo 2

Lembrando a definição prática de subespaço linear (uma revisão rápida e essencial):
Um subconjunto W\subseteq P_{2} é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades equivalentes práticas:
  1. W contém o vetor zero (o polinômio zero, denotado 0).
  2. W é fechado sob adição: se p,q\in W então p+q\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se p\in W e c\in\mathbb{R} então c p\in W.
Essas três propriedades são fáceis de testar em provas rápidas. Outra observação útil: basta provar que alguma dessas propriedades falha para concluir que não é subespaço.

Passo 3

Conjunto: \{\,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mid a_{0}+a_{1}=0\,\}.
  1. Zero: o polinômio zero tem coeficientes a_{0}=0, a_{1}=0, a_{2}=0. Verifica-se a_{0}+a_{1}=0+0=0, logo o zero pertence ao conjunto.
  2. Adição: sejam p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2} e q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2} com a_{0}+a_{1}=0 e b_{0}+b_{1}=0. Então os coeficientes do somatório são a_{0}+b_{0} e a_{1}+b_{1}, e
(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})=(a_{0}+a_{1})+(b_{0}+b_{1})=0+0=0,
logo p+q satisfaz a condição e permanece no conjunto.
3. Multiplicação escalar: para c\in\mathbb{R},
(ca_{0})+(ca_{1})=c(a_{0}+a_{1})=c\cdot 0=0,
logo c p também satisfaz a condição.
Conclusão do passo: o conjunto (a) satisfaz as três propriedades, portanto é um subespaço de P_{2}.

Passo 4

Conjunto: polinômios de grau zero (constantes).
Interpretação importante: “grau zero” significa polinômios constantes não nulos; o polinômio zero não tem grau 0 (costuma-se dizer que o polinômio zero tem grau indefinido ou -\infty). Assim o conjunto pedido normalmente é \{c\in\mathbb{R}\mid c\neq 0\} visto como polinômios constantes. Mesmo sem entrar em convenções, há um teste simples:
  1. Verificar se o zero está no conjunto: o polinômio zero 0 não é um polinômio de grau 0 (pela convenção usual), portanto 0\notin conjunto. Isso já basta para concluir que não é subespaço.
  2. Contraexemplo usando fechamento escalar: tome p(x)=1 (grau 0), então 0\cdot p(x)=0 é o polinômio zero, que não pertence ao conjunto. Portanto não é fechado por multiplicação escalar.
Conclusão do passo: o conjunto (b) NÃO é subespaço de P_{2}.

Passo 5

Conjunto: \{\,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mid a_{0}=2a_{2}\,\}.
  1. Zero: para o polinômio zero temos a_{0}=0 e a_{2}=0; 0=2\cdot 0 é verdade, logo o zero pertence ao conjunto.
  2. Adição: sejam p e q com a_{0}=2a_{2} e b_{0}=2b_{2}. Para p+q o coeficiente constante é a_{0}+b_{0} e o coeficiente de x^{2} é a_{2}+b_{2}. Então
(a_{0}+b_{0}) = 2a_{2}+2b_{2} = 2(a_{2}+b_{2}),
portanto a relação se mantém e p+q pertence ao conjunto.
3. Multiplicação escalar: para c\in\mathbb{R},
c a_{0} = c(2a_{2}) = 2(c a_{2}),
logo c p também satisfaz a relação.
Conclusão do passo: o conjunto (c) satisfaz as propriedades e é um subespaço de P_{2}.

Passo 6

Conjunto: \{v_{1},v_{2}\} com v_{1}=3x-1 e v_{2}=x^{2}+1 — exatamente dois vetores, nada mais.
Testes:
  1. Zero: verificar se 0 pertence ao conjunto. v_{1}=3x-1\neq 0 e v_{2}=x^{2}+1\neq 0, logo 0\notin\{v_{1},v_{2}\}. Falha imediata.
  2. Adição: calcular v_{1}+v_{2}=(3x-1)+(x^{2}+1)=x^{2}+3x. Esse polinômio não é igual nem a v_{1} nem a v_{2}, então v_{1}+v_{2}\notin\{v_{1},v_{2}\}. Falha também na adição fechada.
Conclusão do passo: o conjunto (d) NÃO é subespaço de P_{2}.

Passo 7

Conjunto: polinômios de grau \le 1, ou seja, polinômios da forma a_{0}+a_{1}x.
  1. Zero: 0 é da forma 0+0\cdot x, logo pertence ao conjunto.
  2. Adição: se p(x)=a_{0}+a_{1}x e q(x)=b_{0}+b_{1}x, então
p(x)+q(x)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x,
que é também de grau \le 1. Fechado por adição.
3. Multiplicação escalar: para c\in\mathbb{R},
c p(x)= (c a_{0})+(c a_{1})x,
que continua sendo de grau \le 1. Fechado por escalares.
Conclusão do passo: o conjunto (e) é subespaço de P_{2} (é justamente um subespaço isomorfo a P_{1}).

Passo 8

Resumo das conclusões por item (cada verificação foi feita nos passos anteriores):
  • (a) é subespaço.
  • (b) NÃO é subespaço.
  • (c) é subespaço.
  • (d) NÃO é subespaço.
  • (e) é subespaço.

Resposta

b)
d)

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