Seja
o espaço vetorial sobre
dos polinômios de grau menor ou igual a 2 . Não é um subespaço vetorial de
:
a) O conjunto dos polinômios da forma
, tais que
.
b) O conjunto dos polinômios de grau zero.
c) O conjunto dos polinômios da forma
, tais que
.
d) O conjunto
onde
e
.
e) O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1.
a) O conjunto dos polinômios da forma
b) O conjunto dos polinômios de grau zero.
c) O conjunto dos polinômios da forma
d) O conjunto
e) O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
(polinômios sobre
de grau
) e pede identificar quais dos conjuntos listados NÃO são subespaços vetoriais de
.
As informações fornecidas (cada conjunto é um subconjunto de
):
- (a)
. - (b) o conjunto dos polinômios de grau zero (isto é, polinômios constantes).
- (c)
. - (d) o conjunto
com e (apenas esses dois vetores). - (e) o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a
(ou seja, polinômios ).
O que se pede: indicar quais desses conjuntos NÃO são subespaços de
.
Passo 2
Lembrando a definição prática de subespaço linear (uma revisão rápida e essencial):
Um subconjunto é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades equivalentes práticas:
Um subconjunto
-
contém o vetor zero (o polinômio zero, denotado ). -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Essas três propriedades são fáceis de testar em provas rápidas. Outra observação útil: basta provar que alguma dessas propriedades falha para concluir que não é subespaço.
Passo 3
Conjunto:
.
- Zero: o polinômio zero tem coeficientes
, , . Verifica-se , logo o zero pertence ao conjunto. - Adição: sejam
e com e . Então os coeficientes do somatório são e , e
logo
satisfaz a condição e permanece no conjunto.
3. Multiplicação escalar: para ,
3. Multiplicação escalar: para
logo
também satisfaz a condição.
Conclusão do passo: o conjunto (a) satisfaz as três propriedades, portanto é um subespaço de
.
Passo 4
Conjunto: polinômios de grau zero (constantes).
Interpretação importante: “grau zero” significa polinômios constantes não nulos; o polinômio zero não tem grau
(costuma-se dizer que o polinômio zero tem grau indefinido ou
). Assim o conjunto pedido normalmente é
visto como polinômios constantes. Mesmo sem entrar em convenções, há um teste simples:
- Verificar se o zero está no conjunto: o polinômio zero
não é um polinômio de grau (pela convenção usual), portanto conjunto. Isso já basta para concluir que não é subespaço. - Contraexemplo usando fechamento escalar: tome
(grau ), então é o polinômio zero, que não pertence ao conjunto. Portanto não é fechado por multiplicação escalar.
Conclusão do passo: o conjunto (b) NÃO é subespaço de
.
Passo 5
Conjunto:
.
- Zero: para o polinômio zero temos
e ; é verdade, logo o zero pertence ao conjunto. - Adição: sejam
e com e . Para o coeficiente constante é e o coeficiente de é . Então
portanto a relação se mantém e
pertence ao conjunto.
3. Multiplicação escalar: para ,
3. Multiplicação escalar: para
logo
também satisfaz a relação.
Conclusão do passo: o conjunto (c) satisfaz as propriedades e é um subespaço de
.
Passo 6
Conjunto:
com
e
— exatamente dois vetores, nada mais.
Testes:
- Zero: verificar se
pertence ao conjunto. e , logo . Falha imediata. - Adição: calcular
. Esse polinômio não é igual nem a nem a , então . Falha também na adição fechada.
Conclusão do passo: o conjunto (d) NÃO é subespaço de
.
Passo 7
Conjunto: polinômios de grau
, ou seja, polinômios da forma
.
- Zero:
é da forma , logo pertence ao conjunto. - Adição: se
e , então
que é também de grau
. Fechado por adição.
3. Multiplicação escalar: para ,
3. Multiplicação escalar: para
que continua sendo de grau
. Fechado por escalares.
Conclusão do passo: o conjunto (e) é subespaço de
(é justamente um subespaço isomorfo a
).
Passo 8
Resumo das conclusões por item (cada verificação foi feita nos passos anteriores):
- (a) é subespaço.
- (b) NÃO é subespaço.
- (c) é subespaço.
- (d) NÃO é subespaço.
- (e) é subespaço.
Resposta
b)
d)