Considere a equação diferencial: \frac{1}{x^{3}}+\frac{\mathrm{e}^{y}}{x}+\left(\frac{1}{x y}\right) y^{\prime}=0.
(a) Mostre que a equação não é exata e obtenha um fator integrante que seja uma função apenas na variável x.
(b) Encontre a solução geral da equação.
(c) Determine a solução que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, pegando exatamente os termos do enunciado.
  • A equação diferencial dada é
\frac{1}{x^{3}}+\frac{\mathrm{e}^{y}}{x}+\left(\frac{1}{x y}\right) y^{\prime}=0,
onde y'= \dfrac{dy}{dx}.
  • O enunciado pede:
    (a) Mostrar que a equação não é exata e obter um fator integrante que seja função apenas da variável x.
    (b) Encontrar a solução geral da equação.
    (c) Determinar a solução que satisfaz y(1)=1.
  • Informação reorganizada (forma diferencial): escrevendo como forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0, temos, tomando o termo livre como coeficiente de dx:
M(x,y)=\frac{1}{x^{3}}+\frac{e^{y}}{x},\qquad N(x,y)=\frac{1}{x y},
pois a equação original é M + N\,y'=0 \Longrightarrow M\,dx + N\,dy =0.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Verificar se a equação é exata: condição de exatidão é \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.
Calcule \partial M/\partial y:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{x^{3}}+\frac{e^{y}}{x}\right)=\frac{e^{y}}{x}.
Calcule \partial N/\partial x:
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{x y}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\!\big(x^{-1}y^{-1}\big)=-\frac{1}{x^{2}y}.
Compare:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{e^{y}}{x},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{1}{x^{2}y}.
Como \dfrac{e^{y}}{x}\neq -\dfrac{1}{x^{2}y} em geral (há dependência em y de formas diferentes), a equação NÃO é exata.

Passo 3

Procurar um fator integrante \mu que seja função apenas de x. Há um teste padrão: se existir \mu(x) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata, então \mu satisfaz
\frac{d\ln\mu}{dx}=\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N},
ou seja
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}.
Vamos calcular o lado direito usando M e N já encontrados.
Primeiro calcule o numerador:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{e^{y}}{x}-\left(-\frac{1}{x^{2}y}\right) =\frac{e^{y}}{x}+\frac{1}{x^{2}y}.
Agora divida por N=\dfrac{1}{x y}:
\frac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N} =\left(\frac{e^{y}}{x}+\frac{1}{x^{2}y}\right)\Big/\frac{1}{x y} = e^{y}y+\frac{1}{x}.
Observe o resultado: \displaystyle e^{y}y+\frac{1}{x}. Este lado direito depende de y e de x. Para que exista um \mu que seja função apenas de x, o lado direito deveria depender APENAS de x. Como aqui aparece o termo e^{y}y que depende de y, concluímos que NÃO existe um fator integrante que seja função somente de x.
Portanto a afirmação de procurar um fator integrante que dependa apenas de x não pode ser satisfeita: a equação não é exata e a tentativa de obter \mu=\mu(x) falha porque a condição necessária falha.

Passo 4

Consequências práticas do passo anterior e opções seguintes:
  • Já provamos que a equação não é exata.
  • Também demonstramos rigorosamente que não existe fator integrante dependente apenas de x, porque a expressão que deveria ser função só de x depende de y.
  • Como o enunciado pede explicitamente um fator integrante função apenas de x, é preciso dizer: a exigência do enunciado (existência de \mu=\mu(x)) é impossível para esta equação — não existe tal \mu(x).
Dito isso, para poder encontrar a solução geral (item (b)) é necessário usar outro procedimento: procurar um fator integrante que dependa somente de y, ou um fator integrante mais geral \mu(x,y), ou tentar reescrever a equação de modo que seja tratável por outra técnica. Vou verificar rapidamente se existe fator integrante dependente somente de y (isso é um próximo passo natural).

Passo 5

Teste rápido para fator integrante do tipo \mu=\mu(y). Há fórmula análoga:
\frac{d\ln\mu}{dy}=\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}.
Calcule o lado direito:
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} =-\frac{1}{x^{2}y}-\frac{e^{y}}{x},
e
M=\frac{1}{x^{3}}+\frac{e^{y}}{x}.
Logo
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} =\frac{-\dfrac{1}{x^{2}y}-\dfrac{e^{y}}{x}}{\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{e^{y}}{x}} =\frac{-\dfrac{1}{x y}-e^{y}}{\dfrac{1}{x^{2}}+e^{y}},
que depende também de x (não é função só de y). Assim NÃO existe um fator integrante que dependa apenas de y tampouco.

Passo 6

Conclusão sobre fatores integrantes simples e implicação para solução:
  • Não existe fator integrante do tipo \mu(x).
  • Não existe fator integrante do tipo \mu(y).
  • Portanto não podemos prosseguir com a técnica “torne a equação exata multiplicando por \mu(x)” que o enunciado parecia sugerir; também não há fator integrante simples em apenas y.
Nessa situação, a solução da EDO não se obtém por uma simples aplicação das fórmulas padrão de fator integrante univariado. A equação é não exata e não admite fator integrante univariado; para resolvê-la é necessário recorrer a um fator integrante dependente de x e y em conjunto, ou a outro método (substituições inteligentes, inversão da dependência, etc.). Essas abordagens são mais envolvidas e fogem do pedido estrito de “achar \mu função apenas de x”.

Passo 7

Resposta direta e objetiva para cada item, com justificativa curta (resumindo o que foi desenvolvido):
  • (a) A equação não é exata; e não existe fator integrante que seja função apenas de x. A justificativa é o cálculo direto da razão
\frac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}=e^{y}y+\frac{1}{x},
que depende de y, portanto a condição necessária para \mu=\mu(x) falha.
  • (b) Como não existe fator integrante apenas em x (nem apenas em y), a solução geral não pode ser obtida usando apenas a técnica de fator integrante univariado; é preciso procurar um fator integrante \mu(x,y) dependente de ambas as variáveis ou usar outro método. Sem essa informação adicional (escolha de \mu(x,y) ou uma substituição apropriada), não se obtém aqui uma solução fechada por caminhos elementares empregados na parte (a).
  • (c) Consequentemente, não é possível determinar a solução particular y(1)=1 usando a técnica pedida no item (a) (fator integrante função somente de x), porque o passo intermediário pedido é impossível.

Resposta

(a) A equação não é exata. Não existe fator integrante que seja função apenas de x (porque \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=e^{y}y+\dfrac{1}{x}, que depende de y).\n
(b) Não se obtém a solução geral pela técnica que multiplica por um fator integrante \mu(x), porque tal \mu(x) não existe; é necessário um fator integrante dependente de x e y ou outro método, que não foi fornecido pelo enunciado.\n
(c) Não é possível determinar a solução que satisfaz y(1)=1 usando a técnica requerida no item (a), já que o fator integrante pedido não existe.

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