Um retângulo de lados 3 cm e 4 cm está inscrito em um círculo C. Quanto vale, \mathrm{em} \mathrm{cm}^{2}, a área deste círculo?
a) \frac{22}{3} \pi
b) \frac{25}{4} \pi
c) \pi
d) 9 \pi
e) 25 \pi

Passo 1

O enunciado dá um retângulo inscrito em um círculo C com lados de comprimento 3\\ \text{cm} e 4\\ \text{cm}. A pergunta é: quanto vale, em \text{cm}^2, a área desse círculo? As informações relevantes são:
  • lados do retângulo: 3\\ \text{cm} e 4\\ \text{cm};
  • o retângulo está inscrito no círculo C (ou seja, todos os vértices do retângulo pertencem ao círculo).

Passo 2

Entender uma propriedade geométrica essencial: em qualquer quadrilátero inscrito em uma circunferência, se um dos ângulos internos vale 90^\circ (ângulo reto), então o lado oposto a esse ângulo é um diâmetro do círculo. Essa é a conversão do Teorema de Tales/ângulo inscrito que afirma: um ângulo inscrito que subtende um diâmetro é reto, e o recíproco também vale.
Num retângulo todos os ângulos são retos. Como o retângulo está inscrito no círculo, isso implica que a diagonal que une dois vértices opostos subtende um ângulo reto nos outros dois vértices, portanto essa diagonal é um diâmetro do círculo C. Conclusão útil: o comprimento do diâmetro do círculo é igual ao comprimento da diagonal do retângulo.

Passo 3

Para achar a diagonal do retângulo usamos o Teorema de Pitágoras. Vou explicar o que é: em um triângulo retângulo, se os comprimentos dos catetos são a e b e o comprimento da hipotenusa é c, então vale
a^2 + b^2 = c^2.
Aqui os catetos correspondem aos lados do retângulo 3 e 4, e a hipotenusa corresponde à diagonal que queremos calcular.

Passo 4

Aplicando Pitágoras com a=3 e b=4:
c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25.
Portanto
c = \sqrt{25} = 5\\ \text{cm}.
Logo o comprimento da diagonal do retângulo (e portanto o diâmetro do círculo C) é 5\\ \text{cm}.

Passo 5

Agora obtemos o raio r do círculo a partir do diâmetro d. A relação é
r = \frac{d}{2}.
Substituindo d=5,
r = \frac{5}{2}\\ \text{cm}.

Passo 6

A área de um círculo de raio r é dada por
\text{Área} = \pi r^2,Á
onde \pi é a já conhecida constante (aprox. 3{,}1415\ldots). Substituindo r=\dfrac{5}{2}:
\text{Área} = \pi\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \pi\cdot\frac{25}{4} = \frac{25}{4}\pi\\ \text{cm}^2.Á
Portanto a alternativa correta é a que representa \dfrac{25}{4}\pi.

Resposta

b) \dfrac{25}{4}\pi

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