Um retângulo de lados 3 cm e 4 cm está inscrito em um círculo C. Quanto vale,
, a área deste círculo?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá um retângulo inscrito em um círculo
com lados de comprimento
e
. A pergunta é: quanto vale, em
, a área desse círculo? As informações relevantes são:
- lados do retângulo:
e ; - o retângulo está inscrito no círculo
(ou seja, todos os vértices do retângulo pertencem ao círculo).
Passo 2
Entender uma propriedade geométrica essencial: em qualquer quadrilátero inscrito em uma circunferência, se um dos ângulos internos vale
(ângulo reto), então o lado oposto a esse ângulo é um diâmetro do círculo. Essa é a conversão do Teorema de Tales/ângulo inscrito que afirma: um ângulo inscrito que subtende um diâmetro é reto, e o recíproco também vale.
Num retângulo todos os ângulos são retos. Como o retângulo está inscrito no círculo, isso implica que a diagonal que une dois vértices opostos subtende um ângulo reto nos outros dois vértices, portanto essa diagonal é um diâmetro do círculo . Conclusão útil: o comprimento do diâmetro do círculo é igual ao comprimento da diagonal do retângulo.
Num retângulo todos os ângulos são retos. Como o retângulo está inscrito no círculo, isso implica que a diagonal que une dois vértices opostos subtende um ângulo reto nos outros dois vértices, portanto essa diagonal é um diâmetro do círculo
Passo 3
Para achar a diagonal do retângulo usamos o Teorema de Pitágoras. Vou explicar o que é: em um triângulo retângulo, se os comprimentos dos catetos são
e
e o comprimento da hipotenusa é
, então vale
Aqui os catetos correspondem aos lados do retângulo
e
, e a hipotenusa corresponde à diagonal que queremos calcular.
Passo 4
Aplicando Pitágoras com
e
:
Portanto
Logo o comprimento da diagonal do retângulo (e portanto o diâmetro do círculo
) é
.
Passo 5
Agora obtemos o raio
do círculo a partir do diâmetro
. A relação é
Substituindo
,
Passo 6
A área de um círculo de raio
é dada por
onde
é a já conhecida constante (aprox.
). Substituindo
:
Portanto a alternativa correta é a que representa
.
Resposta
b)