Considere o conjunto S=(x, y) in R^2 mid(x, y) neq(0,0) e o campo vetorial u=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j, se (x, y) in S. Mostre que nabla times u=0=nabla cdot u.

Passo 1

O enunciado define o conjunto de pontos S e o campo vetorial em R²:
Temos S = {(x,y) ∈ R² | (x,y) ≠ (0,0)} e o campo u dado por:
ux = -yx^2+y^2, uy = xx^2+y^2
O que queremos mostrar é que a divergência ∇·u e o rotacional (componente z) ∇×u valem zero em S. Vamos usar teoria de campos vetoriais: divergência e rotacional em R².

Passo 2

Para calcular ∇·u e ∇×u, precisamos das definições em coordenadas cartesianas:
– A divergência de u = (u_x,u_y) é
∇·u = ∂ux∂x + ∂uy∂y
– O rotacional em R² (componente k) é
(∇×u)z = ∂uy∂x - ∂ux∂y

Passo 3

Vamos calcular as quatro derivadas parciais necessárias:
Temos u_x = -y (x²+y²)^{−1} e u_y = x (x²+y²)^{−1}.
∂ux∂x = -y cdot (-1)(x^2+y^2)^-2 · 2x = 2xy(x^2+y^2)^2,
∂ux∂y = -1·(x^2+y^2)^-1 + (-y)·(-1)(x^2+y^2)^-2·2y = -1x^2+y^2 + 2y^2(x^2+y^2)^2,
∂uy∂x = 1·(x^2+y^2)^-1 + x·(-1)(x^2+y^2)^-2·2x = 1x^2+y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2,
∂uy∂y = x·(-1)(x^2+y^2)^-2·2y = -2xy(x^2+y^2)^2

Passo 4

Substituindo na definição de divergência:
∇·u = ∂ux∂x + ∂uy∂y = 2xy(x^2+y^2)^2 + l(-2xy(x^2+y^2)^2r) = 0
Logo ∇·u = 0 em S.

Passo 5

Agora o rotacional (componente k):
(∇×u)z = ∂uy∂x - ∂ux∂y = l(1x^2+y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2r) - l(-1x^2+y^2 + 2y^2(x^2+y^2)^2r)
Simplificando:
(∇×u)z = 1x^2+y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2 + 1x^2+y^2 - 2y^2(x^2+y^2)^2 = 2x^2+y^2 - 2(x^2+y^2)(x^2+y^2)^2 = 0

Passo 6

Concluímos que tanto a divergência quanto o rotacional do campo u são nulos em S.

Resposta

∇·u = 0 e ∇×u = 0

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