Considere o conjunto
e o campo vetorial
, se
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto de pontos S e o campo vetorial em R²:
Temos S = {(x,y) ∈ R² | (x,y) ≠ (0,0)} e o campo u dado por:
Temos S = {(x,y) ∈ R² | (x,y) ≠ (0,0)} e o campo u dado por:
O que queremos mostrar é que a divergência ∇·u e o rotacional (componente z) ∇×u valem zero em S. Vamos usar teoria de campos vetoriais: divergência e rotacional em R².
Passo 2
Para calcular ∇·u e ∇×u, precisamos das definições em coordenadas cartesianas:
– A divergência de u = (u_x,u_y) é
– A divergência de u = (u_x,u_y) é
– O rotacional em R² (componente k) é
Passo 3
Vamos calcular as quatro derivadas parciais necessárias:
Temos u_x = -y (x²+y²)^{−1} e u_y = x (x²+y²)^{−1}.
Temos u_x = -y (x²+y²)^{−1} e u_y = x (x²+y²)^{−1}.
Passo 4
Substituindo na definição de divergência:
Logo ∇·u = 0 em S.
Passo 5
Agora o rotacional (componente k):
Simplificando:
Passo 6
Concluímos que tanto a divergência quanto o rotacional do campo u são nulos em S.
Resposta
∇·u = 0 e ∇×u = 0