Na função
determine os valores do domínio que têm imagem 7.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes e pede os valores de x (no domínio real) tais que f(x)=7. Vamos usar conceitos de funções definidas por partes e resolver equações quadráticas e lineares para cada ramo.

Passo 2

Para o ramo x≥0, temos que f(x)=x^2–\tfrac{5}{2}x+1. Igualando a 7 e reorganizando, obtemos a equação quadrática
x^2 - tfrac52x +1 = 7
Subtraindo 7 dos dois lados:
x^2 - tfrac52x - 6 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara x = -b pm raizb^2 - 4ac2a com a=1, b=-tfrac52, c=-6:
b^2 - 4ac = l(-tfrac52r)^2 - 4cdot1cdot(-6)=tfrac254+24=tfrac1214
Logo as raízes são
x = 5/2 pm raiz121/42 = 5/2 pm 11/22 = 4, -tfrac32

Passo 3

Destes, só x=4 satisfaz a condição x≥0, pois x=-3/2<0 fica fora deste ramo.

Passo 4

Para o ramo x<0, f(x)=x+2. Igualando a 7:
x+2=7 implies x=5

Passo 5

Porém x=5 não pertence ao intervalo x<0, então não gera solução nesse ramo.

Passo 6

Dessa forma, o único valor de x que faz f(x)=7 respeitando o ramo correto é 4.

Resposta

4

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