Mostre que:
u times(nabla times u)=12 nabla(u^2)-(u cdot nabla) u;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade de cálculo vetorial envolvendo o produto vetorial de u com o rotor de u:
u times (nabla times u) = 12 nabla (u^2) - (u cdot nabla)u
Para isso, vamos usar notação indicial e a identidade de Levi-Civita.

Passo 2

Começamos escrevendo o i-ésimo componente de u times (nabla times u) em notação indicial:
(u times (nabla times u))i = varepsilonijk,uj,(nabla times u)k

Passo 3

Expressamos (nabla times u)k também em notação indicial:
(nabla times u)k = varepsilonklm,partiall um
Substituindo na expressão anterior:
(u times (nabla times u))i = varepsilonijk,uj,varepsilonklm,partiall um

Passo 4

Usamos a identidade de Levi-Civita
varepsilonijk,varepsilonklm = de
para reescrever
(u times (nabla times u))i = (de
Isso se expande em duas parcelas:
(u times (nabla times u))i = uj,partiali uj - uj,partialj ui

Passo 5

Reconhecemos que
uj,partiali uj = partialil(tfrac12 uj ujr) = tfrac12partiali(u^2)
e que
uj,partialj ui = (ucdotnabla)ui
Assim cada componente fica
(u times (nabla times u))i = tfrac12partiali(u^2) - (ucdotnabla)ui,
o que em forma vetorial é exatamente
u times (nabla times u) = 12nabla(u^2) - (ucdotnabla)u

Resposta

A identidade foi demonstrada: u times (nabla times u) = tfrac12nabla(u^2) - (ucdotnabla)u.

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