Considere um conjunto de
esferas metálicas neutras, onde todas possuem raios idênticos
exceto duas que possuem raios
e
. Uma quantidade de carga elétrica
deve ser distribuída entre as esferas de raios
e
. Após esse procedimento, a esfera de raio
deve ser colocada em contato sucessivo com cada uma das esferas neutras restantes. Encontre o valor final da esfera de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que rolou:
Temos ao todo n esferas metálicas (todas inicialmente neutras). Dessas, duas são “especiais”, com raios R₁ e R₂; as outras n–2 têm raio R. A gente injeta uma carga total Q nas duas esferas especiais (R₁ e R₂), deixando as restantes continuarem neutras. Depois disso, pega a esfera de raio R₁ (com carga Q₁ inicial) e vai colocando ela em contato, uma a uma, com cada uma das n–2 esferas neutras de raio R. No fim, queremos saber quanto de carga ficou em R₁.
Temos ao todo n esferas metálicas (todas inicialmente neutras). Dessas, duas são “especiais”, com raios R₁ e R₂; as outras n–2 têm raio R. A gente injeta uma carga total Q nas duas esferas especiais (R₁ e R₂), deixando as restantes continuarem neutras. Depois disso, pega a esfera de raio R₁ (com carga Q₁ inicial) e vai colocando ela em contato, uma a uma, com cada uma das n–2 esferas neutras de raio R. No fim, queremos saber quanto de carga ficou em R₁.
Conteúdo: eletrostática de condutores em contato, igualdade de potencial e capacitância.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Quando dois condutores (capacitâncias C_a e C_b) se tocam, as cargas se redistribuem de modo que V_a = V_b ⇒ Q_a/C_a = Q_b/C_b.
- Para esfera isolada, C ∝ raio R (mais precisamente C = 4πε₀R, mas o 4πε₀ cancela nas razões).
Passo 2
Primeiro, vamos distribuir Q entre as esferas R₁ e R₂.
- Antes do contato elas têm Q total = Q e potências diferentes, mas ao encostar uma na outra ficam no mesmo potencial:
V₁=V₂ ⇒ Q₁/C₁ = Q₂/C₂. - Como C₁∝R₁ e C₂∝R₂, isso vira
Resolvendo:
Passo 3
Agora veja o que acontece numa única “coladinha” de R₁ (com carga Q_k) numa esfera neutra de raio R:
- Total de carga = Q_k+0 = Q_k. Depois do contato as duas têm mesmo potencial:$$\frac{Q_{R₁}^{novo}}{R_1} ;=;\frac{Q_{R}^{novo}}{R}\quade\quad Q_{R₁}{\text{novo}}+Q_{\text{R}}{novo}=Q_k.
Q_{R₁}^{novo}=Q_k,\frac{R_1}{R_1+R},. $$
Passo 4
Como a gente faz esse contato sequencialmente com cada uma das n–2 esferas neutras, a carga em R₁ vai sendo multiplicada por
a cada vez.
- Depois de 1 contato:
- Depois de 2 contatos:
- …
- Depois de n–2 contatos:$$Q_{!f}=Q_1;\Bigl(\frac{R_1}{R_1+R}\Bigr)^{,n-2},. $$
E lembrando que
da etapa anterior.