Considere um conjunto de n esferas metálicas neutras, onde todas possuem raios idênticos R exceto duas que possuem raios R1 e R2. Uma quantidade de carga elétrica Q deve ser distribuída entre as esferas de raios R1 e R2. Após esse procedimento, a esfera de raio R1 deve ser colocada em contato sucessivo com cada uma das esferas neutras restantes. Encontre o valor final da esfera de raio R1.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que rolou:
Temos ao todo n esferas metálicas (todas inicialmente neutras). Dessas, duas são “especiais”, com raios R₁ e R₂; as outras n–2 têm raio R. A gente injeta uma carga total Q nas duas esferas especiais (R₁ e R₂), deixando as restantes continuarem neutras. Depois disso, pega a esfera de raio R₁ (com carga Q₁ inicial) e vai colocando ela em contato, uma a uma, com cada uma das n–2 esferas neutras de raio R. No fim, queremos saber quanto de carga ficou em R₁.
Conteúdo: eletrostática de condutores em contato, igualdade de potencial e capacitância.
O que vamos usar:
  1. Quando dois condutores (capacitâncias C_a e C_b) se tocam, as cargas se redistribuem de modo que V_a = V_b ⇒ Q_a/C_a = Q_b/C_b.
  2. Para esfera isolada, C ∝ raio R (mais precisamente C = 4πε₀R, mas o 4πε₀ cancela nas razões).

Passo 2

Primeiro, vamos distribuir Q entre as esferas R₁ e R₂.
  • Antes do contato elas têm Q total = Q e potências diferentes, mas ao encostar uma na outra ficam no mesmo potencial:
    V₁=V₂ ⇒ Q₁/C₁ = Q₂/C₂.
  • Como C₁∝R₁ e C₂∝R₂, isso vira Q1R1 ;=;Q2R2e Q1+Q2=Q
    Resolvendo:
    Q1 ;=; Q,R1R1+R2,

Passo 3

Agora veja o que acontece numa única “coladinha” de R₁ (com carga Q_k) numa esfera neutra de raio R:
  • Total de carga = Q_k+0 = Q_k. Depois do contato as duas têm mesmo potencial:$$\frac{Q_{R₁}^{novo}}{R_1} ;=;\frac{Q_{R}^{novo}}{R}\quade\quad Q_{R₁}{\text{novo}}+Q_{\text{R}}{novo}=Q_k. QR₁^novoR1 ;=;QR^novoR e QR₁^novo+QR^novo=QkQ_{R₁}^{novo}=Q_k,\frac{R_1}{R_1+R},. $$

Passo 4

Como a gente faz esse contato sequencialmente com cada uma das n–2 esferas neutras, a carga em R₁ vai sendo multiplicada por dfracR1R1+R a cada vez.
  • Depois de 1 contato: Q1to Q1,(R1/(R1+R))
  • Depois de 2 contatos: Q1to Q1,(R1/(R1+R))^2
  • Depois de n–2 contatos:$$Q_{!f}=Q_1;\Bigl(\frac{R_1}{R_1+R}\Bigr)^{,n-2},. $$
E lembrando que Q!f =Q1;l(R1R1+Rr)^,n-2, da etapa anterior.

Resposta

Q!f =Q;R1R1+R2;l(R1R1+Rr)^,n-2,

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