O Polônio-210 é um nuclídeo radioativo encontrado na natureza em quantidades muito pequenas e pode ser produzido em reatores nucleares. Este nuclídeo
possui algumas aplicações restrita na indústria, em dispositivos eliminadores de estática, fontes de calor e em calibração de detectores de radiação. Ele se tornou conhecido pois fora usado como veneno no assassinato do Alexander Litvinenko e acredita-se que também fora usado para assassinar Yasser Arafat. Ele decai no Chumbo-206 por emissão alfa com uma meia vida de 138,376 dias. Sabendo destas informações:
Qual o tempo necessário para que uma quantidade inicial de 100 mu g deste material decaia para 1 mu g;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o Polônio-210 tem meia-vida de 138,376 dias e que queremos saber quanto tempo leva pra massa inicial de 100 µg chegar em 1 µg.
Conteúdo: decaimento radioativo (exponencial) e uso de logaritmos.
Vamos precisar da fórmula geral do decaimento ( A(t)=A0e^-lambda t), da relação meia-vida‐constante ( lambda=ln2T1/2) e de como isolar o tempo usando log.

Passo 2

Primeiro, monta a fórmula e calcula a constante de decaimento λ:
A curva de decaimento é
A(t)=A0e^-lambda t
e a meia-vida T1/2 está ligada a λ por
lambda=ln 2T1/2,
Como T1/2=138,376,dias,
lambda=ln 2138,376approx0,693147138,376approx0,005009;(por dia)

Passo 3

Agora, queremos que A(t)=1,µg quando A0=100,µg. Então:
A(t)A0=1100=e^-lambda t,
Tomando log natural dos dois lados:
$$\ln\frac{1}{100}=-\lambda t
\quad\Longrightarrow\quad
t=-\frac{1}{\lambda}\ln!\bigl(\tfrac{1}{100}\bigr)
=\frac{\ln(100)}{\lambda},. ln1100=-lambda t Longrightarrow t=-1lambdaln!l(tfrac1100r) =ln(100)lambda, t\approx\frac{4{,}60517}{0{,}005009}\approx919{,}2;dias.$$

Resposta

O tempo necessário é de aproximadamente 919 dias.

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