Considere o conjunto de n observações x1, x2, ldots, xn e o conjunto dado por y1, y2, ldots, yn. Se yi=xi+k para i=1,2, ldots, n, mostre que bary=barx+k.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas séries de observações:
  • yi = xi + k para i=1,2,dots,n
E que cada é só o mais uma constante :
Conteúdo: média aritmética e propriedade de somatórios (linearidade).
O que vamos usar:
  1. Definição de média: .
  2. A soma de uma constante repetida vezes é .
  3. A soma de uma soma é a soma dos somatórios: .

Passo 2

Começando a resolução de fato, escrevemos a média das bary ;=;1nsumi=1^n yi :
bary = 1nsumi=1^n (xi + k)
Agora substituímos dentro do somatório:

Passo 3

Usamos a propriedade de linearidade do somatório:
sumi=1^n (xi + k) = sumi=1^n xi ;+; sumi=1^n k
Mas bary = 1nl(sumi=1^n xi + nkr) = 1nsumi=1^n xi ;+;nkn = barx + k (total de vezes), ou seja .
Então

Resposta

boxedbary = barx + k

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