A tabela abaixo mostra o tempo de atendimento (em minutos) dentro de um banco no horário de 13 h até às 14 h para um conjunto de 25 pessoas. Determine o tempo médio de atendimento, a moda, a mediana, a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação e o intervalo interquartil.
Tabela 1: Tempo de atendimento (em minutos) de um banco.
Tempo Frequência
[2 ; 7) 8
[7 ; 12) 7
[12 ; 17) ?
[17 ; 22) 3
[22 ; 27) 2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma distribuição de frequência agrupada em 5 classes de tempo de atendimento (em minutos) de um banco, com um total de 25 observações.
Conteúdo: Estatística descritiva (média, moda, mediana, variância, desvio-padrão, coeficiente de variação e intervalo interquartil) aplicada a dados agrupados.
O que vamos precisar:
  • Encontrar a frequência que falta (para totalizar 25)
  • Calcular o ponto médio de cada classe
  • Usar fórmulas de estatística para dados agrupados, explicando cada etapa.

Passo 2

Determinar a frequência faltante e a média aritmética:
  1. Frequências conhecidas: 8, 7, ?, 3, 2. Como o total é 25, a frequência da classe [12,17) é
f3 = 25 - (8 + 7 + 3 + 2) = 5
  1. Pontos médios xi de cada classe:
x1=2+72=4,5, x2=9,5, x3=14,5, x4=19,5, x5=24,5
  1. Calcular sum fi xi:
8cdot4,5 + 7cdot9,5 + 5cdot14,5 + 3cdot19,5 + 2cdot24,5 = 282,5
  1. Média para dados agrupados:
bar x = sum fi xiN = 282,525 = 11,30

Passo 3

Encontrar a moda de forma aproximada (classe modal é a que tem maior frequência, aqui [2,7) com f1=8):
Fórmula da moda para dados agrupados:
Moda = L + ,fm - fa,(fm - fa) + (fm - fs);h,
onde
  • L = limite inferior da classe modal = 2,
  • fm=8 é a frequência da classe modal,
  • fa=0 é a frequência da classe anterior (não existe, a gente toma 0),
  • fs=7 é a frequência da classe seguinte,
  • h=5 é a amplitude de cada classe.
    Substituindo:
Moda = 2 + 8-0(8-0)+(8-7)times5 = 2 + 88+1times5 = 2 + 89times5 approx 2 + 4,44 = 6,44

Passo 4

Calcular a mediana em dados agrupados.
  1. Metade das observações: N/2 = 25/2 = 12,5.
  2. Determinar a classe que contém o 12,5-ésimo dado:
    • Cumulativa até [2,7) = 8
    • Cumulativa até [7,12) = 8+7 = 15 ⇒ a mediana está na classe [7,12).
  3. Fórmula da mediana:
Mediana = L + N2 - Facumulado antesfmed;h,
onde
  • L=7,
  • Facumulado antes=8,
  • fmed=7 é a frequência da classe mediana,
  • h=5.
    Substituindo:
Mediana = 7 + 12,5 - 87times5 = 7 + 4,57times5 approx 7 + 3,214 = 10,21

Passo 5

Variância, desvio-padrão e coeficiente de variação para dados agrupados:
  1. Calcular (xi - bar x)^2 e multiplicar por fi:
i xi xi - 11,30 (xi - 11,30)^2 fi,(xi - bar x)^2
1 4,5 –6,8 46,24 8·46,24 = 369,92
2 9,5 –1,8 3,24 7·3,24 = 22,68
3 14,5 3,2 10,24 5·10,24 = 51,20
4 19,5 8,2 67,24 3·67,24 = 201,72
5 24,5 13,2 174,24 2·174,24= 348,48
Soma total: 994,00.
  1. Variância populacional (dividindo por N):
sigma^2 = sum fi(xi - bar x)^2N = 99425 = 39,76
  1. Desvio-padrão:
sigma = raiz39,76 approx 6,31
  1. Coeficiente de variação:
CV = sigmabar xtimes100% = 6,3111,30times100% approx 55,84%

Passo 6

Intervalo Interquartil (IIQ = Q3 - Q1) usando dados agrupados:
  1. Q1 (posição N/4 = 6,25) cai na 1ª classe [2,7), pois 6,25 < 8.
    Fórmula de Q1:
Q1 = L + N4 - Fac antesfclasse;h = 2 + 6,25 - 08times5 = 2 + 6,258times5 = 2 + 3,91 = 5,91
  1. Q3 (posição 3N/4 = 18,75) cai na 3ª classe [12,17), pois cumulativa até a 2ª é 15 e até a 3ª é 20.
Q3 = 12 + 18,75 - 155times5 = 12 + 3,755times5 = 12 + 3,75 = 15,75
  1. Intervalo interquartil:
IIQ = Q3 - Q1 = 15,75 - 5,91 = 9,84

Resposta

Média = 11,30 min
Moda ≈ 6,44 min
Mediana ≈ 10,21 min
Variância = 39,76 (min²)
Desvio-padrão ≈ 6,31 min
Coeficiente de variação ≈ 55,84%
Intervalo interquartil ≈ 9,84 min

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