Para cada sequência a seguir, calcule o limite (caso ele exista). Se o limite não existir, justifique.
x_{n}=\frac{n^{3}+5 n+2}{n^{2}+5}, \quad \forall n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
\displaystyle x_{n}=\frac{n^{3}+5n+2}{n^{2}+5},
quando n\to\infty. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência racional de polinômios; vamos usar divisão de termos de maior grau.

Passo 2

Para destacar o comportamento quando n é grande, dividimos numerador e denominador por n^2:
\frac{n^{3}+5n+2}{n^{2}+5} =\frac{n^2\!\bigl(n+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}\bigr)}{n^2\!\bigl(1+\frac{5}{n^2}\bigr)} =\frac{n+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{5}{n^2}}.

Passo 3

Agora observamos os termos que envolvem 1/n e 1/n^2. Quando n\to\infty, tem-se
\tfrac{5}{n}\to0 e \tfrac{2}{n^2}\to0 e \tfrac{5}{n^2}\to0.

Passo 4

Portanto,
\frac{n+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{5}{n^2}} \;\longrightarrow\;\frac{n+0+0}{1+0}=n.
E \displaystyle n\to\infty quando n\to\infty, isto é, a sequência cresce sem limite.

Resposta

A sequência diverge para +\infty, logo
\lim_{n\to\infty}x_{n}=+\infty.

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