Considere o conjunto R^2 com as operações
(x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2)
e
alpha odot(x1 x2)=(alpha x1, x2)
(d) Existe elemento simétrico para essa operação? Se existe(m) qual(is) é (sāo)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se, nesse conjunto R^2 com as operações definidas, existem elementos simétricos. Isso está relacionado ao conceito de elementos inversos na matéria de álgebra linear. Para resolver, vamos entender o que são elementos simétricos e como encontrar esses elementos nessa estrutura específica.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular as operações definidas no conjunto R^2:
  1. Operação de adição ( oplus):
(x1, x2) oplus (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2)
Isso significa que somamos componente por componente dos vetores.
  1. Multiplicação por escalar ( odot):
alpha odot (x1, x2) = (alpha x1, x2)
Aqui, multiplicamos o primeiro componente por alpha e deixamos o segundo componente inalterado.

Passo 3

Agora, vamos entender o que são elementos simétricos. Em álgebra linear, um elemento simétrico (ou inverso aditivo) de um vetor (x1, x2) é outro vetor (y1, y2) tal que:
(x1, x2) oplus (y1, y2) = (0, 0)
Ou seja, a soma dos dois vetores resulta no vetor nulo.

Passo 4

Vamos encontrar (y1, y2) que satisfazem a equação acima:
(x1, x2) oplus (y1, y2) = (0, 0)
Aplicando a definição da operação oplus:
(x1 + y1, x2 + y2) = (0, 0)
Isso nos dá duas equações:
  1. x1 + y1 = 0
  2. x2 + y2 = 0

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar y1 e y2:
  1. Da primeira equação: y1 = -x1
  2. Da segunda equação: y2 = -x2
Então, o elemento simétrico de (x1, x2) é (-x1, -x2).

Passo 6

Agora, vamos verificar se esse elemento simétrico realmente pertence ao conjunto R^2. Como -x1 e -x2 são números reais (já que x1 e x2 são reais), (-x1, -x2) também está em R^2.

Resposta

Sim, todo elemento (x1, x2) em R^2 possui um elemento simétrico, que é (-x1, -x2).

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