Considere o conjunto
com as operações
e
(d) Existe elemento simétrico para essa operação? Se existe(m) qual(is) é (sāo)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se, nesse conjunto
com as operações definidas, existem elementos simétricos. Isso está relacionado ao conceito de elementos inversos na matéria de álgebra linear. Para resolver, vamos entender o que são elementos simétricos e como encontrar esses elementos nessa estrutura específica.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular as operações definidas no conjunto
:
- Operação de adição (
):
Isso significa que somamos componente por componente dos vetores.
- Multiplicação por escalar (
):
Aqui, multiplicamos o primeiro componente por
e deixamos o segundo componente inalterado.
Passo 3
Agora, vamos entender o que são elementos simétricos. Em álgebra linear, um elemento simétrico (ou inverso aditivo) de um vetor
é outro vetor
tal que:
Ou seja, a soma dos dois vetores resulta no vetor nulo.
Passo 4
Vamos encontrar
que satisfazem a equação acima:
Aplicando a definição da operação
:
Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Vamos resolver essas equações para encontrar
e
:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Então, o elemento simétrico de
é
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se esse elemento simétrico realmente pertence ao conjunto
. Como
e
são números reais (já que
e
são reais),
também está em
.
Resposta
Sim, todo elemento
em
possui um elemento simétrico, que é
.