O conjunto P2(R), munido das operaçoes de adição e multiplicação por escalar definidas, respectivamente, por
l (a0+a1 x+a2 x^2)+(b0+b1 x+b2 x^2)=(a0+b0)+2(a1+b1) x+3(a2+b2) x^2
e
alpha cdot(a0+a1 x+a2 x^2)=alpha a0+(alpha+1) x+(alpha-1) x^2
é um espaço vetorial real? Justifique.

Passo 1

Beleza, temos um exercício de Álgebra Linear aqui! A gente precisa descobrir se o conjunto P2(R) , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais, forma um espaço vetorial quando usamos as operações de adição e multiplicação por escalar que foram dadas. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se essas operações satisfazem todas as regras necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para algo ser um espaço vetorial, ele precisa satisfazer certas propriedades chamadas axiomas vetoriais. Essas propriedades incluem: fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de um vetor nulo, existência de inversos aditivos, associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e aos escalares, e a identidade da multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos começar verificando o fechamento sob adição. Isso significa que, se a gente somar dois polinômios desse conjunto usando a operação de adição definida, o resultado também deve estar no P2(R) . A operação de adição dada é:
(a0 + a1x + a2x^2) + (b0 + b1x + b2x^2) = (a0 + b0) + 2(a1 + b1)x + 3(a2 + b2)x^2
Perceba que o resultado ainda é um polinômio de grau no máximo 2, então estamos dentro do conjunto P2(R) . Portanto, a operação de adição satisfaz o fechamento.

Passo 4

Agora, vamos ver o fechamento sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente multiplica um polinômio por um número real alpha , o resultado também deve estar no P2(R) . A operação definida é:
alpha cdot (a0 + a1x + a2x^2) = alpha a0 + (alpha + 1)x + (alpha - 1)x^2
O resultado ainda é um polinômio de grau no máximo 2, então está tudo certo com o fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Vamos verificar agora a existência do vetor nulo. O vetor nulo é o polinômio que, quando somado a qualquer outro polinômio, não altera ele. Usando a operação de adição definida:
(a0 + a1x + a2x^2) + (c0 + c1x + c2x^2) = (a0 + c0) + 2(a1 + c1)x + 3(a2 + c2)x^2
Para que isso seja igual ao polinômio original a0 + a1x + a2x^2 , precisamos que:
c0 = 0, 2c1 = 0, 3c2 = 0 implies c0 = c1 = c2 = 0
Então, o vetor nulo é o polinômio 0 + 0x + 0x^2 , que existe no conjunto. Tudo certo aqui!

Passo 6

Vamos ver se existe um inverso aditivo para cada polinômio. Isso significa que para cada polinômio p = a0 + a1x + a2x^2 , deve existir um polinômio q = b0 + b1x + b2x^2 tal que p + q = 0 .
Usando a operação de adição:
(a0 + b0) + 2(a1 + b1)x + 3(a2 + b2)x^2 = 0 + 0x + 0x^2
Isso implica:
a0 + b0 = 0, 2(a1 + b1) = 0, 3(a2 + b2) = 0
Resolvendo:
b0 = -a0, b1 = -a1, b2 = -a2
Então, o inverso aditivo existe e está dentro do conjunto. Beleza!

Passo 7

Agora, vamos verificar a associatividade da adição. Isso significa que para três polinômios p, q, r , a ordem em que a gente adiciona não altera o resultado: (p + q) + r = p + (q + r) .
Vamos considerar:
p + q = (a0 + b0) + 2(a1 + b1)x + 3(a2 + b2)x^2
(p + q) + r = [(a0 + b0) + c0] + 2[(a1 + b1) + c1]x + 3[(a2 + b2) + c2]x^2
p + (q + r) = [a0 + (b0 + c0)] + 2[a1 + (b1 + c1)]x + 3[a2 + (b2 + c2)]x^2
Como a soma de números reais é associativa, (a0 + b0) + c0 = a0 + (b0 + c0) , e o mesmo vale para os outros termos. Portanto, a associatividade está satisfeita.

Passo 8

Vamos verificar a comutatividade da adição. Isso quer dizer que p + q = q + p .
Usando a operação definida:
p + q = (a0 + b0) + 2(a1 + b1)x + 3(a2 + b2)x^2
q + p = (b0 + a0) + 2(b1 + a1)x + 3(b2 + a2)x^2
Como a adição de números reais é comutativa ( a0 + b0 = b0 + a0 ), a comutatividade da adição também está garantida para os polinômios.

Passo 9

Vamos checar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Ou seja, alpha cdot (p + q) = alpha cdot p + alpha cdot q .
Calculando cada lado separadamente:
Primeiro, p + q = (a0 + b0) + 2(a1 + b1)x + 3(a2 + b2)x^2 .
Então,
alpha cdot (p + q) = alpha(a0 + b0) + (alpha + 1) cdot 2(a1 + b1)x + (alpha - 1) cdot 3(a2 + b2)x^2
Por outro lado,
alpha cdot p = alpha a0 + (alpha + 1)a1x + (alpha - 1)a2x^2
alpha cdot q = alpha b0 + (alpha + 1)b1x + (alpha - 1)b2x^2
alpha cdot p + alpha cdot q = (alpha a0 + alpha b0) + 2(alpha + 1)(a1 + b1)x + 3(alpha - 1)(a2 + b2)x^2
Comparando os dois lados, vemos que:
alpha(a0 + b0) = alpha a0 + alpha b0 (OK)
(alpha + 1) cdot 2(a1 + b1) = 2(alpha + 1)(a1 + b1) (OK)
(alpha - 1) cdot 3(a2 + b2) = 3(alpha - 1)(a2 + b2) (OK)
Tudo confere, então a distributividade está satisfeita.

Passo 10

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Ou seja, (alpha + beta) cdot p = alpha cdot p + beta cdot p .
Calculando cada lado:
Primeiro,
(alpha + beta) cdot p = (alpha + beta)a0 + [(alpha + beta) + 1]a1x + [(alpha + beta) - 1]a2x^2
Por outro lado,
alpha cdot p = alpha a0 + (alpha + 1)a1x + (alpha - 1)a2x^2
beta cdot p = beta a0 + (beta + 1)a1x + (beta - 1)a2x^2
alpha cdot p + beta cdot p = (alpha a0 + beta a0) + [( alpha + 1) + (beta + 1)]a1x + [(alpha - 1) + (beta - 1)]a2x^2
Comparando:
Para o termo constante: (alpha + beta)a0 = alpha a0 + beta a0 (OK)
Para o termo de x :
(alpha + beta + 1)a1 neq (alpha + beta + 2)a1
Pois (alpha + beta) +1 neq (alpha +1) + (beta +1) = alpha + beta + 2
Similarmente para o termo de x^2 :
(alpha + beta -1) neq (alpha -1) + (beta -1) = alpha + beta -2
Então, a distributividade não está satisfeita.

Resposta

Não, P2(R) com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas não forma um espaço vetorial real, pois a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita.

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