O conjunto
, munido das operaçoes de adição e multiplicação por escalar definidas, respectivamente, por
e
é um espaço vetorial real? Justifique.
Passo 1
Beleza, temos um exercício de Álgebra Linear aqui! A gente precisa descobrir se o conjunto
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais, forma um espaço vetorial quando usamos as operações de adição e multiplicação por escalar que foram dadas. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se essas operações satisfazem todas as regras necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para algo ser um espaço vetorial, ele precisa satisfazer certas propriedades chamadas axiomas vetoriais. Essas propriedades incluem: fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de um vetor nulo, existência de inversos aditivos, associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e aos escalares, e a identidade da multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos começar verificando o fechamento sob adição. Isso significa que, se a gente somar dois polinômios desse conjunto usando a operação de adição definida, o resultado também deve estar no
. A operação de adição dada é:
Perceba que o resultado ainda é um polinômio de grau no máximo 2, então estamos dentro do conjunto
. Portanto, a operação de adição satisfaz o fechamento.
Passo 4
Agora, vamos ver o fechamento sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente multiplica um polinômio por um número real
, o resultado também deve estar no
. A operação definida é:
O resultado ainda é um polinômio de grau no máximo 2, então está tudo certo com o fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Vamos verificar agora a existência do vetor nulo. O vetor nulo é o polinômio que, quando somado a qualquer outro polinômio, não altera ele. Usando a operação de adição definida:
Para que isso seja igual ao polinômio original
, precisamos que:
Então, o vetor nulo é o polinômio
, que existe no conjunto. Tudo certo aqui!
Passo 6
Vamos ver se existe um inverso aditivo para cada polinômio. Isso significa que para cada polinômio
, deve existir um polinômio
tal que
.
Usando a operação de adição:
Isso implica:
Resolvendo:
Então, o inverso aditivo existe e está dentro do conjunto. Beleza!
Passo 7
Agora, vamos verificar a associatividade da adição. Isso significa que para três polinômios
, a ordem em que a gente adiciona não altera o resultado:
.
Vamos considerar:
Como a soma de números reais é associativa,
, e o mesmo vale para os outros termos. Portanto, a associatividade está satisfeita.
Passo 8
Vamos verificar a comutatividade da adição. Isso quer dizer que
.
Usando a operação definida:
Como a adição de números reais é comutativa (
), a comutatividade da adição também está garantida para os polinômios.
Passo 9
Vamos checar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Ou seja,
.
Calculando cada lado separadamente:
Primeiro,
.
Então,
Por outro lado,
Comparando os dois lados, vemos que:
Tudo confere, então a distributividade está satisfeita.
Passo 10
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Ou seja,
.
Calculando cada lado:
Primeiro,
Por outro lado,
Comparando:
Para o termo constante:
(OK)
Para o termo de
:
Pois
Similarmente para o termo de
:
Então, a distributividade não está satisfeita.
Resposta
Não,
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas não forma um espaço vetorial real, pois a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita.