Mostre que as matrizes A=[ll1 & 1y y & 1], em que y é um número real não nulo, verificam a equação X^2=2 X

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a matriz A = 1 & 1y y & 1 , onde y é um número real diferente de zero, satisfaz a equação A^2 = 2A . Para resolver isso, vamos precisar multiplicar a matriz A por ela mesma e verificar se o resultado é igual a duas vezes A . Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 , ou seja, multiplicar a matriz A por ela mesma. A multiplicação de matrizes funciona assim: cada elemento do resultado é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas e colunas.
Então, temos:
A^2 = A times A = 1 & 1y y & 1 times 1 & 1y y & 1

Passo 3

Vamos calcular cada elemento de A^2 :
  • Elemento (1,1):
1 times 1 + 1y times y = 1 + 1 = 2
  • Elemento (1,2):
1 times 1y + 1y times 1 = 1y + 1y = 2y
  • Elemento (2,1):
y times 1 + 1 times y = y + y = 2y
  • Elemento (2,2):
y times 1y + 1 times 1 = 1 + 1 = 2
Então, A^2 = 2 & 2y 2y & 2 .

Passo 4

Agora, vamos calcular 2A , que é simplesmente multiplicar cada elemento da matriz A por 2:
2A = 2 times 1 & 1y y & 1 = 2 times 1 & 2 times 1y 2 times y & 2 times 1 = 2 & 2y 2y & 2

Passo 5

Comparando os resultados de A^2 e 2A , vemos que:
A^2 = 2 & 2y 2y & 2 = 2A
Isso mostra que A^2 = 2A , conforme o exercício pediu para demonstrar.

Resposta

A^2 = 2A

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