Considere o conjunto dos primeiros 17 inteiros positivos, (1, 2, 3, 17) Dois números desse conjunto são escolhidos de forma que o produto desses dois números seja igual à soma dos 15 números restantes. Qual é o valor desse produto?
(A) 100
(B) 110
© 120
(D) 130
(E) 140
(A) 100
(B) 110
© 120
(D) 130
(E) 140
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá o conjunto dos primeiros 17 números inteiros positivos, ou seja, de 1 até 17. Precisamos escolher dois números desse conjunto de forma que o produto desses dois seja igual à soma dos outros 15 números restantes. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de aritmética básica e álgebra simples.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a soma total dos primeiros 17 números. Sabemos que a soma dos números de 1 até $ n $ é dada pela fórmula:
Aqui, $ n = 17 $, então:
Passo 3
Agora, vamos chamar os dois números que escolhemos de $ x $ e $ y $. A soma dos 15 números restantes será:
Segundo o enunciado, o produto dos dois números $ x \times y $ é igual a essa soma:
Passo 4
Vamos reorganizar essa equação para facilitar a resolução. Adicionando $ x + y $ em ambos os lados, temos:
Agora, adicionamos 1 em ambos os lados para completar o quadrado:
Isso pode ser fatorado da seguinte maneira:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar dois números inteiros $ (x + 1) $ e $ (y + 1) $ cujo produto seja 154. Vamos fatorar 154:
Como $ x $ e $ y $ devem estar entre 1 e 17, $ x + 1 $ e $ y + 1 $ devem estar entre 2 e 18. Das fatorações acima, apenas $ 11 \times 14 = 154 $ satisfaz essa condição.
Passo 6
Portanto:
Resposta
O valor do produto é 130.