(a) Considere
um conjunto qualquer de números reais e defina a função
da seguinte forma:
Encontre expressões para
e
e
em termos de
e
. (O símbolo
foi definido neste capítulo, mas os outros dois podem ser novos para você. Eles podem ser definidos da seguinte forma:
(b) Suponha que
é uma função tal que
ou 1 para cada
. Prove que existe um conjunto
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com a função indicadora de um conjunto qualquer
, definida por
se
e
caso contrário. Na parte (a) queremos expressar as indicadoras de
,
e do complemento em termos de
e
. Na parte (b) devemos mostrar que toda função é a indicadora de algum conjunto.
Passo 2
Para achar
lembramos que
está em
exatamente quando está em ambos
e
. Como a indicadora vale 1 apenas se ambos
e
forem 1, concluímos que
Passo 3
Para
usamos o princípio da inclusão-exclusão em termos de indicadoras:
está na união se está em pelo menos um dos conjuntos. Assim
Passo 4
O complemento é o conjunto de todos
que não estão em
. Logo
Passo 5
Na parte (b), dado , basta definir
Passo 6
Por construção temos
se e só se
, e
se e só se
. Portanto
para todo
.
Resposta
(a)
(b) Basta tomar Daí
para todo
, logo
.
(b) Basta tomar