(a) Considere A um conjunto qualquer de números reais e defina a função CA da seguinte forma:
CA(x)= 1, & se x in A 0, & se x notin A
Encontre expressões para CA cap B e CA cup B e CR backslash A em termos de CA e CB. (O símbolo A cap B foi definido neste capítulo, mas os outros dois podem ser novos para você. Eles podem ser definidos da seguinte forma:
A cup B=x: x in A ou x in B R backslash A=x: x in R mas x notin A )
(b) Suponha que f é uma função tal que f(x)=0 ou 1 para cada x. Prove que existe um conjunto A tal que f=CA.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com a função indicadora de um conjunto qualquer A, definida por CA(x)=1 se xin A e CA(x)=0 caso contrário. Na parte (a) queremos expressar as indicadoras de Acap B, Acup B e do complemento em termos de Rsetminus A e CA. Na parte (b) devemos mostrar que toda função é a indicadora de algum conjunto.

Passo 2

Para achar CAcap B(x) lembramos que x está em Acap B exatamente quando está em ambos A e B. Como a indicadora vale 1 apenas se ambos CA(x) e CB(x) forem 1, concluímos que
CAcap B(x)=CA(x)cdot CB(x)

Passo 3

Para CAcup B(x) usamos o princípio da inclusão-exclusão em termos de indicadoras: x está na união se está em pelo menos um dos conjuntos. Assim
CAcup B(x)=CA(x)+CB(x)-CA(x)cdot CB(x)

Passo 4

O complemento é o conjunto de todos Rsetminus A que não estão em x. Logo

Passo 5

Na parte (b), dado , basta definir

Passo 6

Por construção temos CA(x)=1 se e só se f(x)=1, e CA(x)=0 se e só se f(x)=0. Portanto f(x)=CA(x) para todo x.

Resposta

(a)
(b) Basta tomar CAcap B(x)=CA(x)cdot CB(x), CAcup B(x)=CA(x)+CB(x)-CA(x)cdot CB(x), CRsetminus A(x)=1-CA(x) Daí A=x:f(x)=1 para todo CA(x)=f(x), logo x.

Exercícios relacionados