Suponha que f seja uma função diferenciável de x e y e u=f(x, y). Então, se x=cosh v cos w e y=senh v sen w, expresse partial upartial v e partial upartial w em termos de partial upartial x e partial upartial y.

Passo 1

Neste problema temos u = f(x,y) com x = cosh v cos w e y = sinh v sin w. Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

A regra da cadeia diz que
partial upartial v = partial upartial xpartial xpartial v + partial upartial ypartial ypartial v,
partial upartial w = partial upartial xpartial xpartial w + partial upartial ypartial ypartial w

Passo 3

Calculamos as derivadas de x e y em relação a v. Como x = cosh v cos w e y = sinh v sin w,
partial xpartial v = sinh v cos w, partial ypartial v = cosh v sin w

Passo 4

Substituímos em partial upartial v:
partial upartial v = partial upartial xsinh v cos w + partial upartial ycosh v sin w

Passo 5

Agora derivamos x e y em relação a w. Temos
partial xpartial w = -cosh v sin w, partial ypartial w = sinh v cos w

Passo 6

Substituímos em partial upartial w:
partial upartial w = -partial upartial xcosh v sin w + partial upartial ysinh v cos w

Resposta

partial upartial v = partial upartial xsinh v cos w + partial upartial ycosh v sin w,
partial upartial w = -partial upartial xcosh v sin w + partial upartial ysinh v cos w

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