(a) Suponha que H é uma função e y é um número tal que H(H(y))=y. O que é underbraceH(H(H(cdots(H(y) cdots)))80 vezes ?
(b) A mesma questão do item (a) com 81 no lugar de 80.

Passo 1

No enunciado temos uma função H e um número y tais que H(H(y)) = y. O conteúdo aqui é iteração de funções e involuções, e vamos usar exatamente essa propriedade para calcular composições repetidas de H.

Passo 2

Como H(H(y)) = y, aplicar H duas vezes equivale à função identidade. Definindo H^n como a composição de H consigo mesma n vezes, temos:

Passo 3

H^2n(y) = y
H^2n+1(y) = H(y)

Passo 4

Agora basta ver a paridade do número de composições: 80 é par, logo H^80(y) = y; 81 é ímpar, logo H^81(y) = H(y).

Resposta

(a) y; (b) H(y)

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