Considere o conjunto S=(x, y) in R^2 mid x+y=1. Esse conjunto é um subespaço vetorial de R^2 ? Justifique sua resposta analisando as propriedades.

Passo 1

O enunciado define
S = (x,y)in R^2 mid x + y = 1,
e pergunta se S é subespaço vetorial de R^2. Para isso, precisamos verificar três propriedades essenciais:
  1. Se o vetor zero (0,0) pertence a S.
  2. Se S é fechado sob soma de vetores.
  3. Se S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero em S. O vetor zero é (0,0). Para estar em S devemos ter
0 + 0 = 1,
o que é falso. Logo,
(0,0)notin S
Como todo subespaço deve conter o vetor zero, já concluímos que S não é subespaço.

Passo 3

Para reforçar, testamos a soma de dois vetores quaisquer de S. Se (x1,y1) e (x2,y2) satisfazem
x1+y1 = 1 e x2+y2 = 1,
então a soma é (x1+x2,;y1+y2) e
(x1+x2)+(y1+y2) = (x1+y1)+(x2+y2) = 1 + 1 = 2 neq 1
Logo, (x1+x2,y1+y2)notin S, mostrando que S não é fechado sob soma.

Passo 4

Finalmente, verificamos a multiplicação por escalar. Seja cinR e (x,y)in S, com x+y=1. Então
c(x,y) = (cx,,cy) Longrightarrow cx + cy = c(x+y) = ccdot 1 = c
Para cneq1 temos cx+cyneq1, ou seja, c(x,y)notin S. Logo, S não é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

Não, S não é subespaço vetorial de R^2, pois falha em conter o vetor zero e não é fechado sob soma nem sob multiplicação por escalar.

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