Considere o conjunto
. Esse conjunto é um subespaço vetorial de
? Justifique sua resposta analisando as propriedades.
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
é subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos verificar três propriedades essenciais:
- Se o vetor zero
pertence a . - Se
é fechado sob soma de vetores. - Se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a presença do vetor zero em
. O vetor zero é
. Para estar em
devemos ter
o que é falso. Logo,
Como todo subespaço deve conter o vetor zero, já concluímos que
não é subespaço.
Passo 3
Para reforçar, testamos a soma de dois vetores quaisquer de
. Se
e
satisfazem
então a soma é
e
Logo,
, mostrando que
não é fechado sob soma.
Passo 4
Finalmente, verificamos a multiplicação por escalar. Seja
e
, com
. Então
Para
temos
, ou seja,
. Logo,
não é fechado sob multiplicação escalar.
Resposta
Não,
não é subespaço vetorial de
, pois falha em conter o vetor zero e não é fechado sob soma nem sob multiplicação por escalar.