Questão 2 (2 pontos). Considere o sistema linear abaixo.
Determine todos os valores de de modo que o sistema seja classificado como:
a) possível e determinado.
b) possível e indeterminado.
c) impossível.
Passo 1
O enunciado dá um sistema homogêneo em :
O conteúdo é teoria de sistemas lineares: usamos a matriz dos coeficientes e o critério do determinante para classificar o sistema em possível e determinado (única solução), possível e indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (nenhuma solução).
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
e calculamos seu determinante
det(A) = k,(2k+1) - 1cdot1 = 2k^2 + k - 1
Passo 3
Para ter solução única num sistema homogêneo, precisamos de det(A)neq0. Resolvendo
2k^2 + k - 1 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
k = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34,
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k = 24 = tfrac12 ou k = -44 = -1
Portanto det(A)=0 se, e somente se, k in ,-1,tfrac12.
Passo 4
Como o sistema é homogêneo, ele é sempre consistente (sempre admite a solução trivial (x,y)=(0,0)).
Se det(A)neq0, ou seja knotin-1,tfrac12, há exatamente a solução trivial e nada mais (sistema possível e determinado).
Se det(A)=0, ou seja kin-1,tfrac12, o posto da matriz é menor que o número de incógnitas e há infinitas soluções (sistema possível e indeterminado).
Nunca ocorre sistema impossível, pois é homogêneo e sempre consistente.
Resposta
a) kinRsetminus-1,tfrac12
b) kin-1,tfrac12
c) nenhum valor de k