Considere o sistema linear cx+2 y+z=0 2 x+5 y+3 z=0 -x+y+a z=0.
a) O sistema pode ser impossível? Explique.
b) Para que valores de a o sistema tem infinitas soluções?
c) Para que valores de a o sistema tem solução única?

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo
x+2y+z=0, 2x+5y+3z=0, -,x+y+a,z=0,
e pede para discutir se ele pode ser impossível, e para quais valores de a ele tem infinitas soluções ou solução única. O conteúdo da matéria envolvido é análise de sistemas lineares homogêneos via determinante da matriz de coeficientes e teoria de existência e unicidade de soluções (teorema de Rouché–Capelli para sistemas homogêneos).

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 2 & 1 2 & 5 & 3 -1 & 1 & a
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
det A = 1cdotdet5&31&a -2cdotdet2&3-1&a +1cdotdet2&5-1&1
Calculando cada menor:
det5&31&a=5a-3, det2&3-1&a=2a+3, det2&5-1&1=2+5=7
Logo
det A = (5a-3)-2(2a+3)+7 =5a-3-4a-6+7 = a-2

Passo 3

Como o sistema é homogêneo, ele sempre admite a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Portanto nunca é impossível.

Passo 4

Para que haja infinitas soluções num sistema homogêneo, é preciso que det A=0 (posto A<número de incógnitas). Temos
det A = a-2 = 0 Long<=ftrightarrow a=2
Nesse caso o posto de A cai a 2 e sobrará um parâmetro livre, gerando família infinita de soluções.

Passo 5

Para ter solução única no sistema homogêneo, precisamos de det Aneq0, ou seja
a-2neq0 Long<=ftrightarrow aneq2
Então o sistema só admite a solução trivial nesse caso.

Resposta

a) Não, como é homogêneo ele sempre tem pelo menos a solução trivial.
b) O sistema tem infinitas soluções se, e somente se, a=2.
c) O sistema tem solução única (a trivial) se, e somente se, aneq2.

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