- Mostre que são espaços vetoriais sobre
(a)
com as operações de soma e produto por escalar de matrizes;
(b)
com as operações usuais de funções, são espaços vetoriais.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dois conjuntos com operações usuais são espaços vetoriais sobre
. O conteúdo necessário é a definição de espaço vetorial: um conjunto
com soma interna e multiplicação por escalar em
deve satisfazer que
.
é um grupo abeliano, ou seja, fechamento, associatividade, comutatividade, existência de elemento neutro e de inverso para a soma.
. A multiplicação escalar satisfaz para todos
e
:
(i) ,
(ii) ,
(iii) ,
(iv) .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 2
Definimos
como o conjunto de todas as matrizes
,
,
, com entradas em
. A soma é
o produto escalar é
Para a soma, nota-se que:
Fechamento segue porque a soma de reais é real em cada entrada.
Associatividade e comutatividade seguem das mesmas propriedades em
.
O elemento neutro é a matriz
tal que
em todo
.
O inverso de
é
cujas entradas são
.
Passo 3
Agora verificamos as propriedades da multiplicação escalar em
. Tomando quaisquer
e
, em cada entrada
valem as igualdades
,
,
,
.
Cada uma decorre diretamente das propriedades do corpo aplicadas à entrada
(e
).
Cada uma decorre diretamente das propriedades do corpo
Passo 4
Definimos
como o conjunto de todas as funções
. A soma é
e o produto escalar é
Para a operação de soma em
:
Fechamento, associatividade e comutatividade seguem da adição em
ponto a ponto.
A função zero é
para todo
.
O inverso de
é
definido por
.
Passo 5
Verificamos as propriedades da multiplicação escalar em
. Para quaisquer
e
, em cada
vale
,
,
,
.
Cada igualdade ocorre em no valor
(e
).
Cada igualdade ocorre em
Resposta
(a)
com as operações usuais de soma e produto escalar é um espaço vetorial sobre
.
(b) com a soma e o produto escalar ponto a ponto é um espaço vetorial sobre
.
(b)