1. Mostre que são espaços vetoriais sobre R
    (a) M(m times n) com as operações de soma e produto por escalar de matrizes;
    (b) F(X ; R)=f: X longrightarrow R com as operações usuais de funções, são espaços vetoriais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dois conjuntos com operações usuais são espaços vetoriais sobre R. O conteúdo necessário é a definição de espaço vetorial: um conjunto V com soma interna e multiplicação por escalar em R deve satisfazer que
1. (V,+) é um grupo abeliano, ou seja, fechamento, associatividade, comutatividade, existência de elemento neutro e de inverso para a soma.
2. A multiplicação escalar satisfaz para todos alpha,betainR e u,vin V:
(i) alpha(beta u)=(alphabeta)u,
(ii) (alpha+beta)u=alpha u+beta u,
(iii) alpha(u+v)=alpha u+alpha v,
(iv) 1cdot u=u.

Passo 2

Definimos M(mtimes n) como o conjunto de todas as matrizes A=(Aij), 1<= i<= m, 1<= j<= n, com entradas em R. A soma é
(A+B)ij=Aij+Bij,
o produto escalar é
(alpha A)ij=alpha,Aij
Para a soma, nota-se que:
bul<=t Fechamento segue porque a soma de reais é real em cada entrada.
bul<=t Associatividade e comutatividade seguem das mesmas propriedades em R.
bul<=t O elemento neutro é a matriz 0 tal que 0ij=0 em todo (i,j).
bul<=t O inverso de A é -A cujas entradas são (-A)ij=-Aij.

Passo 3

Agora verificamos as propriedades da multiplicação escalar em M(mtimes n). Tomando quaisquer alpha,betainR e A,Bin M(mtimes n), em cada entrada (i,j) valem as igualdades
alpha(beta A)=(alphabeta)A,
(alpha+beta)A=alpha A+beta A,
alpha(A+B)=alpha A+alpha B,
1cdot A=A.
Cada uma decorre diretamente das propriedades do corpo R aplicadas à entrada Aij (e Bij).

Passo 4

Definimos F(X;R) como o conjunto de todas as funções fcolon XtoR. A soma é
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
e o produto escalar é
(alpha f)(x)=alpha,f(x)
Para a operação de soma em F(X;R):
bul<=t Fechamento, associatividade e comutatividade seguem da adição em R ponto a ponto.
bul<=t A função zero é 0(x)=0 para todo xin X.
bul<=t O inverso de f é -f definido por (-f)(x)=-f(x).

Passo 5

Verificamos as propriedades da multiplicação escalar em F(X;R). Para quaisquer alpha,betainR e f,ginF(X;R), em cada xin X vale
alpha(beta f)=(alphabeta)f,
(alpha+beta)f=alpha f+beta f,
alpha(f+g)=alpha f+alpha g,
1cdot f=f.
Cada igualdade ocorre em R no valor f(x) (e g(x)).

Resposta

(a) M(mtimes n) com as operações usuais de soma e produto escalar é um espaço vetorial sobre R.
(b) F(X;R) com a soma e o produto escalar ponto a ponto é um espaço vetorial sobre R.

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