Verifique se
é função de
em
, com
. Nos casos em que for função, diga se é injetora e/ou sobrejetora. Em cada caso, determine
-
explique se
'e também uma função.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto domínio
e o conjunto contradomínio
,
e define a correspondência
e o conjunto contradomínio
e define a correspondência
Queremos verificar se isso é uma função de
em
, e em caso afirmativo determinar se é injetora e/ou sobrejetora. Depois, calcular a imagem inversa de
, isto é
, e verificar se a relação inversa
também é uma função. Para isso usaremos as definições de função, injeção, sobrejeção e de relação inversa.
Passo 2
Para ser função de
em
, cada elemento de
deve aparecer exatamente uma vez como primeira coordenada em um par de
. Aqui vemos que os elementos
aparecem cada um exatamente em um par. Logo
é de fato uma função.
Passo 3
Uma função é injetora se elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Em
notamos que tanto
quanto
são enviados em
. Ou seja,
e
com . Portanto
não é injetora.
com
Passo 4
Uma função é sobrejetora se sua imagem (alcance) for todo o contradomínio
. A imagem de
é
falta o elemento
. Logo
não é sobrejetora.
Passo 5
A imagem inversa de
por
é o conjunto de todos
tais que
. Há apenas o par
. Logo
Passo 6
A relação inversa
é o conjunto de pares obtidos invertendo cada par de
:
Para que
fosse função de
em
, cada elemento de
apareceria no máximo uma vez como primeira coordenada. Mas aqui
aparece duas vezes (em
e em
), o que impede a unicidade da imagem. Assim
não é uma função.
Resposta
A relação inversa
não é função.