Verifique se f é função de A em B, com A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{a, b, c, d, e, f\}. Nos casos em que for função, diga se é injetora e/ou sobrejetora. Em cada caso, determine f - { }^{-1} e explique se f-{ }^{1} 'e também uma função.
f =\{(1, a),(2, c),(3, e),(4, f),(5, a),(6, b)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto domínio
\,A=\{1,2,3,4,5,6\}
e o conjunto contradomínio
\,B=\{a,b,c,d,e,f\},
e define a correspondência
f=\{(1,a),(2,c),(3,e),(4,f),(5,a),(6,b)\}.
Queremos verificar se isso é uma função de A em B, e em caso afirmativo determinar se é injetora e/ou sobrejetora. Depois, calcular a imagem inversa de e, isto é f^{-1}(e), e verificar se a relação inversa f^{-1} também é uma função. Para isso usaremos as definições de função, injeção, sobrejeção e de relação inversa.

Passo 2

Para ser função de A em B, cada elemento de A deve aparecer exatamente uma vez como primeira coordenada em um par de f. Aqui vemos que os elementos 1,2,3,4,5,6 aparecem cada um exatamente em um par. Logo
f\colon A\to B
é de fato uma função.

Passo 3

Uma função é injetora se elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Em f notamos que tanto 1 quanto 5 são enviados em a. Ou seja,
\,f(1)=a e \,f(5)=a
com 1\neq5. Portanto f não é injetora.

Passo 4

Uma função é sobrejetora se sua imagem (alcance) for todo o contradomínio B. A imagem de f é
\{\,a,c,e,f,a,b\}=\{a,b,c,e,f\},
falta o elemento d. Logo f não é sobrejetora.

Passo 5

A imagem inversa de e por f é o conjunto de todos x\in A tais que f(x)=e. Há apenas o par (3,e). Logo
f^{-1}(e)=\{3\}.

Passo 6

A relação inversa f^{-1} é o conjunto de pares obtidos invertendo cada par de f:
f^{-1}=\{(a,1),(c,2),(e,3),(f,4),(a,5),(b,6)\}.
Para que f^{-1} fosse função de B em A, cada elemento de B apareceria no máximo uma vez como primeira coordenada. Mas aqui a aparece duas vezes (em (a,1) e em (a,5)), o que impede a unicidade da imagem. Assim f^{-1} não é uma função.

Resposta

f é função de A em B, mas não é injetora nem sobrejetora.
f^{-1}(e)=\{3\}.
A relação inversa f^{-1} não é função.

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