Considere o conjunto de todos os vetores da forma vm, n=(m, n):|m| <= M,|n| <= N, onde (m, n) in Z^2 e (M, N) in N^2.
Calcule o vetor resultante
v3=summ^2+n^2 <= M^2+N^2 vm, n

Passo 1

O enunciado define o conjunto de vetores
vm,n = (m,n)
com (m,n)inZ^2 e |m|<= M, |n|<= N, e pede o somatório
v3=summ^2+n^2<= M^2+N^2vm,n
O conteúdo envolvido é o uso de simetria em somatórios para mostrar que cada componente se anula.

Passo 2

Vamos calcular a componente x de v3, que é
summ^2+n^2<= M^2+N^2 m
Para todo par (m,n) que satisfaz m^2+n^2<= M^2+N^2, o par (-m,n) também satisfaz, e contribui com -m. Logo, os termos m e -m se cancelam em pares, de modo que
summ^2+n^2<= M^2+N^2 m = 0

Passo 3

De modo análogo, a componente y de v3 é
summ^2+n^2<= M^2+N^2 n
Para todo (m,n) do conjunto existe (m,-n), cujas contribuições n e -n também se cancelam. Assim,
summ^2+n^2<= M^2+N^2 n = 0

Passo 4

Como ambas as componentes x e y do somatório são zero, obtemos
v3 = (0,0)

Resposta

v3 = (0,0)

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