Questão 3 (5 pts.) Considere os seguintes subespaços de
,
(a) Encontre bases para
e
. Determine
e
;
(b) Determine
e
;
(c) Encontre bases para
. Determine
e
;
(d)
? Justifique;
(e) Encontre um subespaço
de
tal que
.
(b) Determine
(c) Encontre bases para
(d)
(e) Encontre um subespaço
Passo 1
O enunciado trata de subespaços de
:
e
.
Vamos achar bases e dimensões de e
, depois calcular interseção, soma, verificar soma direta e finalmente exibir um complemento de
em
.
Vamos achar bases e dimensões de
Passo 2
Para
, a equação é
Escolhemos
livres e
. Assim um vetor genérico é
Logo uma base de
é
e
.
Passo 3
Para
, as relações valem
ou seja
Assim uma base de
é
e
.
Passo 4
Verificamos se
: em
têm-se
portanto
. Daí
e como todo vetor de
já está em
, também
Passo 5
Como
, a base de
é a mesma de
, ou seja
com
.
Como , a base de
é a base de
Como
com
.
Passo 6
Para ser soma direta
precisaríamos
e
. Mas vimos que
e
. Logo
Passo 7
Para encontrar
com
, note que
então basta um espaço unidimensional não contido em
. Como
é o kernel da soma das coordenadas, escolhemos
De fato, qualquer
se decompõe de modo único em
com
, e o primeiro termo satisfaz soma de coordenadas zero, ou seja está em
.
Resposta
(a) Base de
:
,
.
Base de :
,
.
Base de
(b)
e
.
(c) Base de
:
,
.
Base de :
,
.
Base de
(d) Não, pois
(e
).
(e) Um complemento é
pois assim
.