Questão 3 (5 pts.) Considere os seguintes subespaços de R^4,
& V:=(x, y, z, t) in R^4: x+y+z+t=0 e & W:=(x, y, z, t) in R^4: y=-x, z=2 x, t=-2 x
(a) Encontre bases para V e W. Determine dim(V) e dim(W);
(b) Determine V cap W e V+W;
(c) Encontre bases para V cap W e V+W. Determine dim(V cap W) e dim(V+W);
(d) R^4=V oplus W ? Justifique;
(e) Encontre um subespaço F de R^4 tal que V oplus F=R^4.

Passo 1

O enunciado trata de subespaços de R^4:
V=(x,y,z,t)inR^4:x+y+z+t=0 e
W=(x,y,z,t)inR^4:y=-x,;z=2x,;t=-2x.
Vamos achar bases e dimensões de V e W, depois calcular interseção, soma, verificar soma direta e finalmente exibir um complemento de V em R^4.

Passo 2

Para V, a equação é
x+y+z+t=0
Escolhemos x,y,z livres e t=-x-y-z. Assim um vetor genérico é
(x,y,z,-x-y-z) = x,(1,0,0,-1)+y,(0,1,0,-1)+z,(0,0,1,-1)
Logo uma base de V é
(1,0,0,-1),,(0,1,0,-1),,(0,0,1,-1),
e dim(V)=3.

Passo 3

Para W, as relações valem
y=-x, z=2x, t=-2x,
ou seja
(x,y,z,t) = x,(1,-1,2,-2)
Assim uma base de W é
(1,-1,2,-2),
e dim(W)=1.

Passo 4

Verificamos se Wsubset V: em W têm-se
x+y+z+t = x +(-x)+2x+(-2x)=0,
portanto Wsubset V. Daí
Vcap W = W,
e como todo vetor de W já está em V, também
V+W = V

Passo 5

Como Vcap W=W, a base de Vcap W é a mesma de W, ou seja
(1,-1,2,-2),
com dim(Vcap W)=1.
Como V+W=V, a base de V+W é a base de V
(1,0,0,-1),,(0,1,0,-1),,(0,0,1,-1),
com dim(V+W)=3.

Passo 6

Para ser soma direta Voplus W=R^4 precisaríamos V+W=R^4 e Vcap W=0. Mas vimos que V+W=VneqR^4 e Vcap W=Wneq0. Logo
R^4neq Voplus W

Passo 7

Para encontrar F com Voplus F=R^4, note que dim(V)=3 então basta um espaço unidimensional não contido em V. Como V é o kernel da soma das coordenadas, escolhemos
F = span(1,1,1,1)
De fato, qualquer (a,b,c,d) se decompõe de modo único em
(a,b,c,d) = l(a-alpha,;b-alpha,;c-alpha,;d-alphar) + alpha,(1,1,1,1),
com alpha=(a+b+c+d)/4, e o primeiro termo satisfaz soma de coordenadas zero, ou seja está em V.

Resposta

(a) Base de V: (1,0,0,-1),,(0,1,0,-1),,(0,0,1,-1), dim(V)=3.
Base de W: (1,-1,2,-2), dim(W)=1.
(b) Vcap W = W e V+W = V.
(c) Base de Vcap W: (1,-1,2,-2), dim(Vcap W)=1.
Base de V+W: (1,0,0,-1),,(0,1,0,-1),,(0,0,1,-1), dim(V+W)=3.
(d) Não, pois V+W=VneqR^4 (e Vcap Wneq0).
(e) Um complemento é
F = span(1,1,1,1),
pois assim Voplus F=R^4.

Exercícios relacionados