Mostre que a relação R1 que define os números racionais Q, é uma relação de equivalência.

Passo 1

O enunciado define a relação R1 em Ztimes(Zsetminus0) por
(a,b);R1;(c,d)Long<=ftrightarrow a,d = b,c
Queremos mostrar que R1 é uma relação de equivalência, isto é, que ela é reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 2

Reflexividade: precisamos ver que todo par (a,b) está relacionado consigo mesmo. De fato,
a,b = b,a,
logo
(a,b);R1;(a,b)

Passo 3

Simetria: suponha (a,b);R1;(c,d). Então
a,d = b,c
Bastando trocar os lados do produto, obtemos
c,b = d,a,
o que mostra
(c,d);R1;(a,b)

Passo 4

Transitividade: suponha
(a,b);R1;(c,d) e (c,d);R1;(e,f)
Isto é,
a,d = b,c e c,f = d,e
Multiplicando a primeira igualdade por f e a segunda por b, temos
a,d,f = b,c,f e b,c,f = b,d,e
Logo
a,d,f = b,d,e
Como dneq0, podemos cancelar d e obter
a,f = b,e,
portanto
(a,b);R1;(e,f),
o que prova a transitividade.

Resposta

A relação R1 é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é uma relação de equivalência em Ztimes(Zsetminus0).

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