Mostre que a relação
que define os números racionais
, é uma relação de equivalência.
Passo 1
O enunciado define a relação
em
por
Queremos mostrar que
é uma relação de equivalência, isto é, que ela é reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 2
Reflexividade: precisamos ver que todo par
está relacionado consigo mesmo. De fato,
logo
Passo 3
Simetria: suponha
. Então
Bastando trocar os lados do produto, obtemos
o que mostra
Passo 4
Transitividade: suponha
Isto é,
Multiplicando a primeira igualdade por
e a segunda por
, temos
Logo
Como
, podemos cancelar
e obter
portanto
o que prova a transitividade.
Resposta
A relação
é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é uma relação de equivalência em
.