Considere o conjunto de todos os vetores da forma vm, n=(m, n):|m| <= M,|n| <= N, onde (m, n) in Z^2 e (M, N) in N^2.
Calcule o vetor resultante
v2=sum0 <= m <= M, 0 <= n <= N vm, n

Passo 1

O enunciado pede para somar todos os vetores
vm,n=(m,n)
com 0<= m<= M e 0<= n<= N.
O conteúdo é soma dupla de vetores em Z^2 e vamos usar a linearidade da soma de componentes e a fórmula da soma dos inteiros.

Passo 2

Como a soma de vetores é componente a componente, escrevemos
v2 =summ=0^Msumn=0^N(m,n) =l(summ=0^Msumn=0^Nm,;summ=0^Msumn=0^Nnr)

Passo 3

No primeiro componente x temos
summ=0^Msumn=0^Nm =summ=0^Ml(msumn=0^N1r) =(N+1)summ=0^Mm
E sabemos que
summ=0^Mm=M(M+1)2

Passo 4

No segundo componente y fazemos igual:
summ=0^Msumn=0^Nn =sumn=0^Nl(nsumm=0^M1r) =(M+1)sumn=0^Nn =(M+1)N(N+1)2

Passo 5

Juntando as duas componentes, obtemos
v2 =gl((N+1)M(M+1)2,;(M+1)N(N+1)2gr) =l(tfracM(M+1)(N+1)2,,tfracN(N+1)(M+1)2r)

Resposta

v2=(M(M+1)(N+1)2,;N(N+1)(M+1)2)

Exercícios relacionados