Considere o conjunto de todos os vetores da forma vm, n=(m, n):|m| <= M,|n| <= N, onde (m, n) in Z^2 e (M, N) in N^2.
Calcule o vetor resultante
v1=sum-M <= m <= M,-N <= n <= N vm, n

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor
v1=summ=-M^Msumn=-N^Nvm,n
onde cada vm,n=(m,n). O conteúdo é soma de vetores em Z^2, usando a linearidade do somatório e a simetria dos intervalos inteiros.

Passo 2

Pela linearidade da soma de vetores, podemos separar componente a componente:
v1 =l(summ=-M^Msumn=-N^Nm,;summ=-M^Msumn=-N^Nnr)

Passo 3

Para a primeira componente:
summ=-M^Msumn=-N^Nm =l(summ=-M^Mmr)cdotl(sumn=-N^N1r)
Mas em um intervalo simétrico de inteiros summ=-M^Mm=0. Logo a primeira componente vale 0.

Passo 4

Para a segunda componente:
summ=-M^Msumn=-N^Nn =l(sumn=-N^Nnr)cdotl(summ=-M^M1r)
De modo análogo, sumn=-N^Nn=0. Logo a segunda componente vale 0.

Resposta

v1=(0,0)

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