Mostre que dadas duas classes de equivalência quaisquer definidas por R0 são disjuntas.

Passo 1

Temos uma relação de equivalência R0 em um conjunto A. Para cada ain A, a classe de equivalência de a é definida por
[a] = ,xin A mid x,R0,a
Queremos mostrar que, dadas duas classes [a] e [b], ou elas são iguais ou a sua interseção é vazia (ou seja, são disjuntas).

Passo 2

Suponha, por absurdo, que
[a]cap[b]neqemptyset
Então existe cin A tal que cin[a] e cin[b]. Logo,
c,R0,a e c,R0,b

Passo 3

Pela simetria de R0, de c,R0,a obtemos a,R0,c. Usando depois a transitividade em a,R0,c e c,R0,b, concluímos
a,R0,b

Passo 4

Para provar [a]subseteq[b], tome xin[a]. Então x,R0,a. Como a,R0,b, por transitividade segue
x,R0,b,
logo xin[b]. Portanto [a]subseteq[b].

Passo 5

De modo análogo, trocando a por b, usa-se simetria e transitividade para obter [b]subseteq[a]. Assim
[a]=[b]

Passo 6

Concluímos que, se [a]cap[b]neqemptyset, então [a]=[b]. Consequentemente, quaisquer duas classes de equivalência ou coincidem ou são disjuntas.

Resposta

Quaisquer duas classes de equivalência definidas por R0 são ou iguais ou disjuntas; em particular, duas classes distintas são disjuntas.

Exercícios relacionados