Mostre que dadas duas classes de equivalência quaisquer definidas por
são disjuntas.
Passo 1
Temos uma relação de equivalência
em um conjunto
. Para cada
, a classe de equivalência de
é definida por
Queremos mostrar que, dadas duas classes
e
, ou elas são iguais ou a sua interseção é vazia (ou seja, são disjuntas).
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
Então existe
tal que
e
. Logo,
Passo 3
Pela simetria de
, de
obtemos
. Usando depois a transitividade em
e
, concluímos
Passo 4
Para provar
, tome
. Então
. Como
, por transitividade segue
logo
. Portanto
.
Passo 5
De modo análogo, trocando
por
, usa-se simetria e transitividade para obter
. Assim
Passo 6
Concluímos que, se
, então
. Consequentemente, quaisquer duas classes de equivalência ou coincidem ou são disjuntas.
Resposta
Quaisquer duas classes de equivalência definidas por
são ou iguais ou disjuntas; em particular, duas classes distintas são disjuntas.