Considere o conjunto
abaixo:
(a) Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
(b) Encontre uma base para
.
(b) Encontre uma base para
Passo 1
O enunciado define o conjunto
As perguntas são:
(a) Mostrar que é um subespaço vetorial de
.
(b) Encontrar uma base para .
(a) Mostrar que
(b) Encontrar uma base para
Passo 2
Recordando a definição que vou usar (de maneira bem explícita): um subconjunto
é subespaço vetorial se satisfaz três propriedades:
-
não é vazio (equivalente: contém o vetor zero). -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Vou verificar essas três propriedades para
. Explico cada passo de forma direta e com conta explícita.
Passo 3
Verificando que
não é vazio: tomo o vetor zero
. Substituo nas duas equações:
Ambas são verdadeiras, então
. Logo
não é vazio.
Passo 4
Fechamento por adição: seja
e
. Por hipótese eles satisfazem
Considere
. Vou verificar as duas equações para
:
Portanto
satisfaz as mesmas equações, isto é,
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar: seja
e
. Como
temos
e
. Considere
. Verifico:
Logo
satisfaz as equações que definem
, portanto
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Como
contém o vetor zero (Passo 3), é fechado sob adição (Passo 4) e fechado sob multiplicação por escalar (Passo 5), concluímos que
é um subespaço vetorial de
. Isso responde a parte (a).
Passo 7
Agora parte (b): encontrar uma base de
. Método: resolver o sistema linear dado pelas duas igualdades e escrever a solução geral em termos de parâmetros livres; os vetores associados aos parâmetros formarão um gerador. Depois verifico independência linear.
As equações são
Passo 8
Resolvendo o sistema passo a passo. Subtraio (2) de (1) ou faço manipulação simples: a partir de (1) tenho
. Substituo em (2):
Isolo
:
Com
e
obtemos
Portanto as variáveis
e
são livres (parâmetros) e
são expressos em termos deles.
Passo 9
Escrever o vetor genérico
em função de
e
:
Agora fatoro
e
:
Isso mostra que qualquer vetor de
é combinação linear dos vetores
Passo 10
Mostro que
gera
: já escrevi vetor genérico de
como
, com
. Logo
.
Passo 11
Verifico independência linear de
e
. Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo por componentes:
Da segunda componente temos
então
. Com
, a última componente dá
. Assim a única solução é
, portanto
e
são linearmente independentes.
Passo 12
Como
gera
e é linearmente independente, é uma base de
. Além disso,
.
Resposta
(a)
é um subespaço vetorial de
.\n(b) Uma base de
é
.