Considere o conjunto V abaixo:
V=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x-y=w \text { e } x+z=w\right\}
(a) Mostre que V é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.
(b) Encontre uma base para V.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V=\left\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x-y=w\\ \text{ e }\\ x+z=w\right\}
As perguntas são:
(a) Mostrar que V é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.
(b) Encontrar uma base para V.

Passo 2

Recordando a definição que vou usar (de maneira bem explícita): um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se satisfaz três propriedades:
  1. S não é vazio (equivalente: contém o vetor zero).
  2. S é fechado sob adição: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e c\in\mathbb{R} então c\,u\in S.
Vou verificar essas três propriedades para V. Explico cada passo de forma direta e com conta explícita.

Passo 3

Verificando que V não é vazio: tomo o vetor zero (0,0,0,0). Substituo nas duas equações:
x-y=w \Rightarrow 0-0=0
x+z=w \Rightarrow 0+0=0
Ambas são verdadeiras, então (0,0,0,0)\in V. Logo V não é vazio.

Passo 4

Fechamento por adição: seja u=(x_1,y_1,z_1,w_1)\in V e v=(x_2,y_2,z_2,w_2)\in V. Por hipótese eles satisfazem
x_1-y_1=w_1,\qquad x_1+z_1=w_1,
x_2-y_2=w_2,\qquad x_2+z_2=w_2.
Considere u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;w_1+w_2). Vou verificar as duas equações para u+v:
(x_1+x_2)-(y_1+y_2)=(x_1-y_1)+(x_2-y_2)=w_1+w_2,
(x_1+x_2)+(z_1+z_2)=(x_1+z_1)+(x_2+z_2)=w_1+w_2.
Portanto u+v satisfaz as mesmas equações, isto é, u+v\in V. Assim V é fechado sob adição.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar: seja u=(x,y,z,w)\in V e c\in\mathbb{R}. Como u\in V temos x-y=w e x+z=w. Considere c\,u=(c x,\;c y,\;c z,\;c w). Verifico:
(c x)-(c y)=c(x-y)=c w,
(c x)+(c z)=c(x+z)=c w.
Logo c\,u satisfaz as equações que definem V, portanto c\,u\in V. Assim V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Como V contém o vetor zero (Passo 3), é fechado sob adição (Passo 4) e fechado sob multiplicação por escalar (Passo 5), concluímos que V é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}. Isso responde a parte (a).

Passo 7

Agora parte (b): encontrar uma base de V. Método: resolver o sistema linear dado pelas duas igualdades e escrever a solução geral em termos de parâmetros livres; os vetores associados aos parâmetros formarão um gerador. Depois verifico independência linear.
As equações são
x-y=w\qquad(1)
x+z=w\qquad(2)

Passo 8

Resolvendo o sistema passo a passo. Subtraio (2) de (1) ou faço manipulação simples: a partir de (1) tenho x=y+w. Substituo em (2):
x+z=w \implies (y+w)+z=w.
Isolo y:
y+w+z=w \implies y+z=0 \implies y=-z.
Com y=-z e x=y+w obtemos
x = y + w = -z + w.
Portanto as variáveis z e w são livres (parâmetros) e x,y são expressos em termos deles.

Passo 9

Escrever o vetor genérico (x,y,z,w) em função de z e w:
(x,y,z,w)=(-z+w,\,-z,\;z,\;w).
Agora fatoro z e w:
(x,y,z,w)=z\,(-1,-1,1,0)+w\,(1,0,0,1).
Isso mostra que qualquer vetor de V é combinação linear dos vetores
v_1 = (-1,-1,1,0),\qquad v_2=(1,0,0,1).

Passo 10

Mostro que \{v_1,v_2\} gera V: já escrevi vetor genérico de V como z\,v_1+w\,v_2, com z,w\in\mathbb{R}. Logo \mathrm{span}\{v_1,v_2\}=V.

Passo 11

Verifico independência linear de v_1 e v_2. Suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a\,v_1 + b\,v_2 = (0,0,0,0).
Escrevendo por componentes:
a(-1)+b(1)=0,\qquad a(-1)+b(0)=0,\qquad a(1)+b(0)=0,\qquad a(0)+b(1)=0.
Da segunda componente temos -a=0 então a=0. Com a=0, a última componente dá b=0. Assim a única solução é a=b=0, portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes.

Passo 12

Como \{v_1,v_2\} gera V e é linearmente independente, é uma base de V. Além disso, \dim V=2.

Resposta

(a) V é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.\n(b) Uma base de V é \{(-1,-1,1,0),\,(1,0,0,1)\}.

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