Informações dadas que vou usar: a matriz A é explicitamente aquela acima (todos os seus elementos estão escritos). A pergunta é se essa matriz é diagonalizável e, na prática, implica encontrar os autovalores, as respetivas multiplicidades e autovetores (ou demonstrar diagonalização por alguma técnica).]
Passo 2
Primeira observação prática (e muito útil para decidir diagonalização): vou verificar se A é simétrica. Uma matriz é simétrica se A^{T}=A. Olhando para A vemos que A_{ij}=A_{ji} para todos os i,j (por exemplo A_{12}=1=A_{21}, A_{34}=-1=A_{43}, etc.). Logo
A^{T}=A.
Aula rápida: por que isso importa? Um resultado fundamental (espectral) diz que toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal — ou seja, existem vetores próprios reais ortogonais que formam uma base. Isso quer dizer que, se eu conseguir achar os autovalores e autovetores reais, vou obter diagonalização completa. Então já tenho forte indicação de que A é diagonalizável; ainda assim vou achar explicitamente autovalores e autovetores para ser concreto.
Passo 3
Vou mostrar uma propriedade útil que simplifica muito o cálculo dos autovalores: multiplicar A por si mesma. Calculo A^2. Para isso uso uma ideia: o elemento (A^2)_{ij} é o produto escalar da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de A. Como A é simétrica, isso é o produto escalar da linha i com a linha j. Observe as linhas de A:
Para i\neq j: por exemplo r_1\cdot r_2 = 1\cdot1 +1\cdot1 +1\cdot(-1) +1\cdot(-1) = 0. De fato todas as linhas distintas são ortogonais (pode verificar r_1\cdot r_3=0, r_2\cdot r_3=0, etc.).
Portanto, as linhas são mutuamente ortogonais e de norma \sqrt{4}=2. Logo o produto linha i por linha j é 4 quando i=j e 0 quando i\neq j. Isso implica
A^2 = 4I_4,
onde I_4 é a identidade 4\times4.
Passo 4
Interpretação da equação matricial A^2=4I: isto significa que A satisfaz o polinômio matricial
A^2 - 4I = 0.
A teoria dos autovalores diz que, se um valor \lambda é autovalor de A, então ele satisfaz o polinômio escalar correspondente:
\lambda^2 - 4 = 0.
Portanto os possíveis autovalores de A são as raízes de \lambda^2-4=0, isto é
\lambda = 2 \quad\text{ou}\quad \lambda = -2.
Aula rápida: sempre que A satisfaz p(A)=0 (com p polinômio), os autovalores de A são raízes de p.
Passo 5
Agora preciso das multiplicidades algébricas desses autovalores. Uso a relação com a traça da matriz: a soma dos autovalores (contados com multiplicidade) é igual à traça de A. Calculo a traça:
\operatorname{tr}(A)=1+1+1+1=4.
Sejam m_2 a multiplicidade algébrica de \lambda=2 e m_{-2} a de \lambda=-2. Como a dimensão é 4,
Logo m_{-2}=1. Conclusão: autovalor 2 com multiplicidade algébrica 3 e autovalor -2 com multiplicidade algébrica 1.
Passo 6
Para garantir diagonalização é suficiente (aqui) obter uma base de 4 autovetores linearmente independentes. Como [A) é simétrica, sabemos que dimensão dos espaços próprios (multiplicidade geométrica) coincide com a multiplicidade algébrica — ou seja, para matrizes reais simétricas cada autovalor tem um espaço próprio com dimensão igual à sua multiplicidade algébrica. Ainda assim vou construir explicitamente os autovetores para ficar prático na prova.
Começo pelo autovalor \lambda=-2. Preciso resolver (A+2I)v=0. Escrevo o sistema explícito. Se v=(x,y,z,w)^T, as equações são
\begin{cases} 3x + y + z + w = 0,\\[4pt] x + 3y - z - w = 0,\\[4pt] x - y + 3z - w = 0,\\[4pt] x - y - z + 3w = 0. \end{cases}
Faço manipulações lineares (subtrações de equações) para simplificar: subtraindo a segunda da primeira obtenho
x - y + z + w = 0.
Subtraindo a terceira da primeira obtenho
x + y - z + w = 0.
Subtraindo a quarta da primeira obtenho
x + y + z - w = 0.
Somando as duas primeiras destas três equações dá 2x + 2w = 0\Rightarrow w=-x\]. Das outras relações segue \(y=z=-x. Portanto um gerador do espaço próprio é
v_{-2} = (1,-1,-1,-1)^T.
Verificação direta (fácil na prova): calcular Av_{-2}:
portanto é mesmo autovetor associado a -2. Como a multiplicidade algébrica de -2 é 1, a multiplicidade geométrica também é 1 e já encontrei toda a sua direção própria.]
Passo 7
Agora o autovalor \lambda=2\). Resolvo \((A-2I)v=0\). Escrevo as equações. Se \(v=(x,y,z,w)^T\), temos
\[\begin{cases} - x + y + z + w = 0,\\[4pt] x - y - z - w = 0,\\[4pt] x - y - z - w = 0,\\[4pt] x - y - z - w = 0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos x = y+z+w\]. Substituindo na primeira esta é automaticamente satisfeita (consistência). As três últimas são iguais, então o espaço solução tem dimensão \(3 (três variáveis livres, por exemplo y,z,w). Assim a forma geral de um autovetor para \lambda=2 é
v=(y+z+w,\,y,\,z,\,w)^T.
Posso escolher três vetores linearmente independentes (base do espaço próprio) fixando as variáveis livres. Uma escolha simples e conveniente:
Verificação rápida (fazer na prova): A v_1 = (2,2,0,0)^T = 2 v_1, e análogas para v_2,v_3. Portanto tenho três autovetores independentes associados a \lambda=2.]
Passo 8
Concluindo a parte prática: obtenho quatro autovetores linearmente independentes (os três para \lambda=2 e o um para \lambda=-2). Como são quatro vetores independentes numa dimensão 4, a matriz A é diagonalizável. Além disso, por A ser simétrica, posso ortonormalizar esses vetores (por exemplo dividir cada um por sua norma) e montar uma matriz ortogonal Q tal que
Q^{T} A Q = D,
onde D é diagonal com três entradas 2 e uma entrada -2. Um ordering comum é colocar os três 2's primeiro e o -2 por último:
D = \operatorname{diag}(2,2,2,-2).
Exemplo de vetores normalizados (opcionais para a prova): a norma de cada v_1,v_2,v_3 é 2 (ex.: \|v_1\|=\sqrt{1^2+1^2}= \sqrt{2}? cuidado: para v_1=(1,1,0,0) a norma é \sqrt{2}.) Posso normalizar dividindo por \sqrt{2} para v_1,v_2,v_3 e por 2 para v_{-2} (que tem norma 2). Isso gera uma base ortonormal.
Resposta
A matriz é diagonalizável.
Autovalores: \lambda=2 (multiplicidade algébrica 3) e \lambda=-2 (multiplicidade algébrica 1).
Um conjunto de autovetores independentes: para \lambda=2, (1,1,0,0)^T,\\ (1,0,1,0)^T,\\ (1,0,0,1)^T; para \lambda=-2, (1,-1,-1,-1)^T.
Matriz diagonal equivalente (ordem dos autovalores a gosto): \operatorname{diag}(2,2,2,-2).