Encontre uma base para V \subset \mathbb{R}^{3} dado por V=[(-1,13,-1),(1,2,1),(2,-1,2)].

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma base para V \subset \mathbb{R}^{3} onde
V = [(-1,13,-1),(1,2,1),(2,-1,2)].
Informações dadas:
\;v_1 = (-1,13,-1), \;v_2 = (1,2,1), \;v_3 = (2,-1,2).
A tarefa é encontrar um subconjunto desses vetores que forme uma base de V (ou seja, um conjunto linearmente independente que gere V).

Passo 2

O que significa “base” aqui (rápida aula):
Uma base de um subespaço V é um conjunto de vetores que satisfaz dois itens:
  1. Geram V: todo vetor de V é combinação linear dos vetores da base.
  2. São linearmente independentes: nenhuma combinação linear não trivial deles dá o vetor zero.
Estratégia prática para este problema:
  • Verificar se os três vetores são linearmente independentes. Se não forem, achar uma relação de dependência para expressar um vetor como combinação dos outros.
  • Escolher dois vetores que sejam independentes e mostrar que o terceiro fica no span desses dois, assim formando uma base de V.

Passo 3

Procurando relação linear entre v_1,v_2,v_3. Considere coeficientes \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 tais que
\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = 0.
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} - \lambda_1 + \lambda_2 + 2\lambda_3 = 0,\\[4pt] 13\lambda_1 + 2\lambda_2 - \lambda_3 = 0,\\[4pt] - \lambda_1 + \lambda_2 + 2\lambda_3 = 0. \end{cases}
Note que a primeira e a terceira equações são idênticas, então temos essencialmente duas equações independentes.]

Passo 4

Resolver o sistema reduzido. Da primeira equação:
- \lambda_1 + \lambda_2 + 2\lambda_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda_2 = \lambda_1 - 2\lambda_3.
Substituindo na segunda equação:
13\lambda_1 + 2(\lambda_1 - 2\lambda_3) - \lambda_3 = 0.
Simplificando:
13\lambda_1 + 2\lambda_1 - 4\lambda_3 - \lambda_3 = 0
15\lambda_1 - 5\lambda_3 = 0.
Dividindo por 5:
3\lambda_1 - \lambda_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda_3 = 3\lambda_1.
Voltemos a \lambda_2:
\lambda_2 = \lambda_1 - 2\lambda_3 = \lambda_1 - 2(3\lambda_1) = -5\lambda_1.
Logo as soluções têm a forma (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=\lambda_1(1,-5,3). Como existe solução não trivial (por exemplo \lambda_1=1), os três vetores são linearmente dependentes. A relação de dependência é
1\cdot v_1 - 5\cdot v_2 + 3\cdot v_3 = 0.

Passo 5

Expressar um vetor em função dos outros. Da relação obtida:
v_1 - 5v_2 + 3v_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3v_3 = -v_1 + 5v_2.
Logo
v_3 = -\tfrac{1}{3}v_1 + \tfrac{5}{3}v_2.
Isto mostra que v_3 pertence ao span \{v_1,v_2\}. Portanto \operatorname{span}\{v_1,v_2\} = \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} = V.

Passo 6

Verificar que \{v_1,v_2\}\) é linearmente independente (para garantir que é base). Considere \(\alpha v_1 + \beta v_2 = 0\). Escrevendo por coordenadas: \[\begin{cases} - \alpha + \beta = 0,\\[4pt] 13\alpha + 2\beta = 0,\\[4pt] - \alpha + \beta = 0. \end{cases}
Da primeira equação \beta = \alpha\]. Substituindo na segunda: \[13\alpha + 2\alpha = 15\alpha = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 0,\] então \(\beta=0. Assim \{v_1,v_2\} é linearmente independente.
Como \{v_1,v_2\} é independente e gera V (porque v_3 está no span), concluímos que \{v_1,v_2\} é uma base de V.]

Resposta

\{(-1,13,-1),(1,2,1)\}

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