Encontre uma base para V \subset \mathbb{R}^{3} dado por V=[(-1,13,-1),(1,2,1),(2,-1,2)].
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma base para V \subset \mathbb{R}^{3} onde
V = [(-1,13,-1),(1,2,1),(2,-1,2)].
Informações dadas: \;v_1 = (-1,13,-1), \;v_2 = (1,2,1), \;v_3 = (2,-1,2).
A tarefa é encontrar um subconjunto desses vetores que forme uma base de V (ou seja, um conjunto linearmente independente que gere V).
Passo 2
O que significa “base” aqui (rápida aula):
Uma base de um subespaço V é um conjunto de vetores que satisfaz dois itens:
Geram V: todo vetor de V é combinação linear dos vetores da base.
São linearmente independentes: nenhuma combinação linear não trivial deles dá o vetor zero.
Estratégia prática para este problema:
Verificar se os três vetores são linearmente independentes. Se não forem, achar uma relação de dependência para expressar um vetor como combinação dos outros.
Escolher dois vetores que sejam independentes e mostrar que o terceiro fica no span desses dois, assim formando uma base de V.
Passo 3
Procurando relação linear entre v_1,v_2,v_3. Considere coeficientes \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 tais que
Logo as soluções têm a forma (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=\lambda_1(1,-5,3). Como existe solução não trivial (por exemplo \lambda_1=1), os três vetores são linearmente dependentes. A relação de dependência é
1\cdot v_1 - 5\cdot v_2 + 3\cdot v_3 = 0.
Passo 5
Expressar um vetor em função dos outros. Da relação obtida:
Isto mostra que v_3 pertence ao span\{v_1,v_2\}. Portanto \operatorname{span}\{v_1,v_2\} = \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} = V.
Passo 6
Verificar que \{v_1,v_2\}\) é linearmente independente (para garantir que é base). Considere \(\alpha v_1 + \beta v_2 = 0\). Escrevendo por coordenadas:
\[\begin{cases} - \alpha + \beta = 0,\\[4pt] 13\alpha + 2\beta = 0,\\[4pt] - \alpha + \beta = 0. \end{cases}
Da primeira equação \beta = \alpha\]. Substituindo na segunda:
\[13\alpha + 2\alpha = 15\alpha = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 0,\]
então \(\beta=0. Assim \{v_1,v_2\} é linearmente independente.
Como \{v_1,v_2\} é independente e gera V (porque v_3 está no span), concluímos que \{v_1,v_2\} é uma base de V.]