Em P_{2}[x], encontre uma base para \left[1-2 x+x^{2}, 1+x+x^{2}, x+x^{2}\right].

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre uma base do subespaço gerado pelos polinômios dados em P_{2}[x]. As perguntas e as informações fornecidas são:
  • Pergunta: determinar uma base para o conjunto gerado por \left[1-2x+x^{2},\;1+x+x^{2},\;x+x^{2}\right].
  • Polinômios dados: p_{1}(x)=1-2x+x^{2},
p_{2}(x)=1+x+x^{2},
p_{3}(x)=x+x^{2}.
  • Informação implícita: trabalhamos em P_{2}[x], o espaço dos polinômios de grau no máximo 2.

Passo 2

Estratégia (explicação do método que vou usar): vou representar cada polinômio pelas suas coordenadas na base padrão \{1,x,x^{2}\}. Assim cada polinômio vira um vetor em \mathbb{R}^{3} com as componentes sendo os coeficientes de 1, x e x^{2}. Depois verifico se esses vetores são linearmente independentes (ou seja, se formam uma base do subespaço gerado). Para testar independência vou montar uma matriz cujas colunas são esses vetores e fazer eliminação de Gauss (operações elementares por linhas). Um pequeno lembrete didático: operações por linhas não alteram a independência das colunas — elas apenas nos ajudam a identificar pivôs que mostram quais colunas são independentes.

Passo 3

Escrevo as coordenadas de cada polinômio na base \{1,x,x^{2}\}:
p_{1}\mapsto \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix},\qquad p_{2}\mapsto \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\qquad p_{3}\mapsto \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Formo a matriz A com essas coordenadas como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplico eliminação de Gauss por linhas em A. Primeiro, uso a primeira linha para zerar o elemento -2 na segunda linha e o 1 na terceira linha na primeira coluna:
Faço R_{2}\leftarrow R_{2}+2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}. Assim
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Mostrei cada cálculo: R_{2} fica (-2)+2\cdot1=0, 1+2\cdot1=3, 1+2\cdot0=1. R_{3} fica 1-1=0, 1-1=0, 1-0=1.]

Passo 5

Continuo a eliminar para deixar uma forma triangular mais simples. Uso R_{3} para zerar o termo 1 da posição (2,3): faço R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{3}, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora torno o pivô da segunda linha igual a 1 dividindo R_{2} por 3, e em seguida elimino o 1 da posição (1,2) usando a nova R_{2}:
R_{2}\leftarrow \frac{1}{3}R_{2}\quad\text{e}\quad R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}.
Depois dessas operações tenho
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Detalhes: \frac{1}{3}R_{2}=(0,1,0). Então R_{1}-(0,1,0)=(1,0,0).]

Passo 7

Interpretação do resultado: a forma reduzida é a matriz identidade I_{3}. Isso significa que a matriz original A tem posto 3 (há três pivôs). Como as colunas de A correspondem aos polinômios p_{1},p_{2},p_{3}, ter posto 3 diz que essas três colunas são linearmente independentes.

Passo 8

Conclusão final lógica: o espaço P_{2}[x] tem dimensão 3 (já que um polinômio de grau no máximo 2 é determinado por três coeficientes). Encontramos três polinômios linearmente independentes no subespaço gerado, portanto eles geram todo o subespaço de dimensão 3 — em outras palavras, os três polinômios formam uma base do subespaço que geram. Logo uma base é exatamente o conjunto dado.

Resposta

\{\,1-2x+x^{2},\;1+x+x^{2},\;x+x^{2}\,\}

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