Considere o conjunto V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais.
Verifique que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, verificando as seguintes propriedade para todos u, v, w \in V e \lambda, \mu \in \mathbb{R},
u+v=v+u;

Passo 1

O enunciado dá:
  • O conjunto V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais (adição vetorial e multiplicação por escalar).
  • Valem u,v,w\in V e \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
O que se pede:
  • Verificar a propriedade de comutatividade da adição vetorial, ou seja, mostrar que
u+v=v+u
para todos u,v\in V.

Passo 2

Vou escrever os vetores por componentes. Seja
u=(u_{1},u_{2}),\qquad v=(v_{1},v_{2}),
onde u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}\in\mathbb{R}. Aqui u_{1} é a primeira componente de u, u_{2} a segunda, e o mesmo para v.

Passo 3

Relembrando a definição (operação usual) de soma em \mathbb{R}^{2}:
para quaisquer vetores a=(a_{1},a_{2}) e b=(b_{1},b_{2}) define-se
a+b=(a_{1}+b_{1},\,a_{2}+b_{2}).
Isso significa que somamos componente a componente, usando a soma em \mathbb{R}.

Passo 4

Aplicando a definição ao caso de u e v, obtemos
u+v=(u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2})
e
v+u=(v_{1}+u_{1},\,v_{2}+u_{2}).

Passo 5

Agora usamos a comutatividade da soma em \mathbb{R}: para quaisquer x,y\in\mathbb{R} vale x+y=y+x. Aplicando isso às componentes:
u_{1}+v_{1}=v_{1}+u_{1}\quad\text{e}\quad u_{2}+v_{2}=v_{2}+u_{2}.
Portanto, comparando as componentes dos pares,
(u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2})=(v_{1}+u_{1},\,v_{2}+u_{2}),
ou seja
u+v=v+u.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia): tome u=(2,3) e v=(5,1). Então
u+v=(2+5,\,3+1)=(7,4)
e
v+u=(5+2,\,1+3)=(7,4),
o que confirma u+v=v+u no exemplo concreto.

Resposta

u+v=v+u

Exercícios relacionados