Considere o conjunto
com as operações usuais.
Verifique que
é um espaço vetorial sobre
, verificando as seguintes propriedade para todos
e
,
;
Passo 1
O enunciado dá:
- O conjunto
com as operações usuais (adição vetorial e multiplicação por escalar). - Valem
e .
O que se pede:
- Verificar a propriedade de comutatividade da adição vetorial, ou seja, mostrar que
para todos
.
Passo 2
Vou escrever os vetores por componentes. Seja
onde
. Aqui
é a primeira componente de
,
a segunda, e o mesmo para
.
Passo 3
Relembrando a definição (operação usual) de soma em
:
para quaisquer vetores e
define-se
para quaisquer vetores
Isso significa que somamos componente a componente, usando a soma em
.
Passo 4
Aplicando a definição ao caso de
e
, obtemos
e
Passo 5
Agora usamos a comutatividade da soma em
: para quaisquer
vale
. Aplicando isso às componentes:
Portanto, comparando as componentes dos pares,
ou seja
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia): tome
e
. Então
e
o que confirma
no exemplo concreto.