Considere o conjunto
com as operações usuais.
Verifique que
é um espaço vetorial sobre
, verificando as seguintes propriedade para todos
e
,
Existe
tal que
;
Existe
Passo 1
O que o enunciado pede aqui é mostrar que existe um elemento neutro aditivo em
, isto é, um vetor
tal que, para todo
,
Informações relevantes fornecidas:
- O conjunto é
. - As operações são as usuais em
: soma de vetores e multiplicação por escalar coordenada a coordenada. - Devemos verificar a existência (e, como extra didático, podemos também mostrar unicidade) do elemento neutro aditivo.
Passo 2
Definição operacional que vamos usar (lembrete prático):
Se e
são vetores em
, a soma
é definida por
Se
Aqui
são as coordenadas reais dos vetores. A ideia é checar se existe um par
que, somado a qualquer
, retorna
.
Passo 3
Propor um candidato natural: use o elemento que em cada coordenada seja o neutro aditivo dos reais. Em
o neutro aditivo é
porque para qualquer
vale
. Assim o candidato em
é
Observação:
pois
e
é o conjunto de pares ordenados de reais.
Passo 4
Verificar a propriedade neutra para um
genérico. Seja
arbitrário. Então, usando a definição de soma em
,
Agora aplicamos a propriedade do neutro aditivo dos reais (para quaisquer
tem
). Assim
Como
foi escolhido arbitrariamente, concluímos que para todo
vale
. Portanto
é realmente o elemento neutro aditivo em
.
Passo 5
(Prova de unicidade, passo didático extra) Suponha que exista outro elemento
com a propriedade neutra: para todo
tem
. Em particular, tome
. Então
Mas pela definição de soma,
. Logo
. Assim o neutro aditivo é único.
Passo 6
Conclusão: o vetor
pertence a
e satisfaz
para todo
. Logo existe
com a propriedade pedida (e esse
é único).