Considere o conjunto V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais.
Verifique que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, verificando as seguintes propriedade para todos u, v, w \in V e \lambda, \mu \in \mathbb{R},
Existe 0 \in V tal que u+0=u;

Passo 1

O que o enunciado pede aqui é mostrar que existe um elemento neutro aditivo em V=\mathbb{R}^{2}, isto é, um vetor 0\in V tal que, para todo u\in V,
u+0 = u.
Informações relevantes fornecidas:
  • O conjunto é V=\mathbb{R}^{2}.
  • As operações são as usuais em \mathbb{R}^{2}: soma de vetores e multiplicação por escalar coordenada a coordenada.
  • Devemos verificar a existência (e, como extra didático, podemos também mostrar unicidade) do elemento neutro aditivo.

Passo 2

Definição operacional que vamos usar (lembrete prático):
Se u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) são vetores em \mathbb{R}^{2}, a soma u+v é definida por
u+v=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).
Aqui u_1,u_2,v_1,v_2\in\mathbb{R} são as coordenadas reais dos vetores. A ideia é checar se existe um par (e_1,e_2)\in\mathbb{R}^{2} que, somado a qualquer u=(u_1,u_2), retorna u.

Passo 3

Propor um candidato natural: use o elemento que em cada coordenada seja o neutro aditivo dos reais. Em \mathbb{R} o neutro aditivo é 0 porque para qualquer a\in\mathbb{R} vale a+0=a. Assim o candidato em \mathbb{R}^{2} é
0:=(0,0).
Observação: (0,0)\in\mathbb{R}^{2} pois 0\in\mathbb{R} e \mathbb{R}^{2} é o conjunto de pares ordenados de reais.

Passo 4

Verificar a propriedade neutra para um u genérico. Seja u=(u_1,u_2)\in\mathbb{R}^{2} arbitrário. Então, usando a definição de soma em \mathbb{R}^{2},
u+(0,0) = (u_1+0,\;u_2+0).
Agora aplicamos a propriedade do neutro aditivo dos reais (para quaisquer a\in\mathbb{R} tem a+0=a). Assim
(u_1+0,\;u_2+0) = (u_1,u_2) = u.
Como u foi escolhido arbitrariamente, concluímos que para todo u\in\mathbb{R}^{2} vale u+(0,0)=u. Portanto (0,0) é realmente o elemento neutro aditivo em V.

Passo 5

(Prova de unicidade, passo didático extra) Suponha que exista outro elemento e'=(e'_1,e'_2)\in\mathbb{R}^{2} com a propriedade neutra: para todo u\in\mathbb{R}^{2} tem u+e'=u. Em particular, tome u=(0,0). Então
(0,0)+e' = (0,0).
Mas pela definição de soma, (0,0)+e' = e'. Logo e'=(0,0). Assim o neutro aditivo é único.

Passo 6

Conclusão: o vetor (0,0) pertence a V e satisfaz u+(0,0)=u para todo u\in V. Logo existe 0\in V com a propriedade pedida (e esse 0 é único).

Resposta

(0,0)

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