Considere o conjunto V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais.
Verifique que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, verificando as seguintes propriedade para todos u, v, w \in V e \lambda, \mu \in \mathbb{R},
\lambda(\mu u)=(\lambda \mu) u;

Passo 1

O enunciado dá o conjunto V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais (soma vetorial e multiplicação por escalar coordenada a coordenada) e pede para verificar a propriedade
\lambda(\mu u) = (\lambda\mu) u
para todos u\in V e todos \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
  • V=\mathbb{R}^{2} (vetores representados como pares ordenados).
  • Operações usuais: para u=(u_{1},u_{2}) e \alpha\in\mathbb{R}, \alpha u=(\alpha u_{1},\alpha u_{2}).
  • A propriedade a verificar envolve dois escalares \lambda,\mu\in\mathbb{R} e um vetor u\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Explicar o que significa a multiplicação por escalar em \mathbb{R}^{2}.
Definição (operacional): se u=(u_{1},u_{2})\in\mathbb{R}^{2} e \alpha\in\mathbb{R}, então a multiplicação por escalar é dada por
\alpha u=(\alpha u_{1},\alpha u_{2}).
Isto quer dizer que multiplicar um vetor por um número real significa multiplicar cada componente do vetor por esse número.

Passo 3

Aplicar a definição primeiro ao produto \mu u.
Se u=(u_{1},u_{2}), então, por definição,
\mu u=(\mu u_{1},\mu u_{2}).

Passo 4

Agora aplicar \lambda ao vetor \mu u usando novamente a definição de multiplicação por escalar.
Pelo passo anterior \mu u=(\mu u_{1},\mu u_{2}). Aplicando \lambda obtemos
\lambda(\mu u)=\bigl(\lambda(\mu u_{1}),\;\lambda(\mu u_{2})\bigr).

Passo 5

Usar a propriedade associativa da multiplicação no corpo dos escalares (a aritmética dos reais).
Para números reais vale a associatividade da multiplicação, isto é, para quaisquer \lambda,\mu,u_{i}\in\mathbb{R},
\lambda(\mu u_{i})=(\lambda\mu)u_{i},\qquad i=1,2.
Aplicando isso às duas coordenadas do par do passo anterior obtemos
\lambda(\mu u)=\bigl((\lambda\mu)u_{1},\;(\lambda\mu)u_{2}\bigr).

Passo 6

Reconhecer a expressão resultante como exatamente (\lambda\mu)u.
Pela definição de multiplicação por escalar, se multiplicamos u=(u_{1},u_{2}) pelo escalar (\lambda\mu) obtemos
(\lambda\mu)u=\bigl((\lambda\mu)u_{1},\;(\lambda\mu)u_{2}\bigr).
Comparando com o resultado do passo anterior, as duas expressões coincidem coordenada a coordenada, logo são o mesmo vetor. Portanto
\lambda(\mu u)=(\lambda\mu)u.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para intuir): tome u=(2,3), \mu=4 e \lambda=5. Então
\mu u=(8,12), \qquad \lambda(\mu u)=5(8,12)=(40,60).
Por outro lado
(\lambda\mu)u=(20)(2,3)=(40,60).
Os resultados conferem, reforçando a prova geral anterior.

Resposta

\lambda(\mu u)=(\lambda\mu)u

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