Considere o conjunto
com as operações usuais.
Verifique que
é um espaço vetorial sobre
, verificando as seguintes propriedade para todos
e
,
;
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com as operações usuais (soma vetorial e multiplicação por escalar coordenada a coordenada) e pede para verificar a propriedade
para todos
e todos
.
Informações relevantes fornecidas:
-
(vetores representados como pares ordenados). - Operações usuais: para
e , - A propriedade a verificar envolve dois escalares
e um vetor .
Passo 2
Explicar o que significa a multiplicação por escalar em
.
Definição (operacional): se
e
, então a multiplicação por escalar é dada por
Isto quer dizer que multiplicar um vetor por um número real significa multiplicar cada componente do vetor por esse número.
Passo 3
Aplicar a definição primeiro ao produto
.
Se
, então, por definição,
Passo 4
Agora aplicar
ao vetor
usando novamente a definição de multiplicação por escalar.
Pelo passo anterior
. Aplicando
obtemos
Passo 5
Usar a propriedade associativa da multiplicação no corpo dos escalares (a aritmética dos reais).
Para números reais vale a associatividade da multiplicação, isto é, para quaisquer
,
Aplicando isso às duas coordenadas do par do passo anterior obtemos
Passo 6
Reconhecer a expressão resultante como exatamente
.
Pela definição de multiplicação por escalar, se multiplicamos
pelo escalar
obtemos
Comparando com o resultado do passo anterior, as duas expressões coincidem coordenada a coordenada, logo são o mesmo vetor. Portanto
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para intuir): tome
,
e
. Então
Por outro lado
Os resultados conferem, reforçando a prova geral anterior.