Considere o conjunto
com as operações usuais.
Verifique que
é um espaço vetorial sobre
, verificando as seguintes propriedade para todos
e
,
;
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com as operações usuais (adição de vetores e multiplicação por escalar).
A tarefa é verificar, para todos e para todos
, a igualdade
A tarefa é verificar, para todos
Lista das informações relevantes que o enunciado fornece:
-
(vetores são pares ordenados de números reais). - As operações são as usuais: adição componente a componente e multiplicação por escalar componente a componente.
- É preciso mostrar a propriedade de distributividade dos escalares sobre o vetor:
.
Passo 2
Definições que vamos usar (essas são as “regras usuais” em
, explicadas calmamente):
- Um vetor
escreve-se como , onde . - Multiplicação por escalar: para
e ,
Isto significa que cada componente do vetor é multiplicada pelo escalar.
- Adição de vetores: para
e ,
Essas definições são elementares e vêm direto da construção de
.
Passo 3
Calculemos a expressão da esquerda usando a definição de multiplicação por escalar:
Aqui aplicámos a regra “multiplicar componente a componente” com o escalar
.
Passo 4
Agora calculemos a expressão da direita, primeiro multiplicando cada vetor por seu escalar e depois somando:
Somando esses vetores componente a componente:
Passo 5
Use a propriedade distributiva dos números reais (que é válida para todos
):
Portanto
Passo 6
Comparando o resultado do Passo 3 com o do Passo 5 vemos que as componentes correspondentes são iguais, logo os vetores são iguais:
Isto vale para quaisquer
(ou seja, para qualquer
) e quaisquer
. Assim a propriedade está verificada.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para sentir o resultado (apenas para fixar): tome
,
,
. Então
e
mesmo resultado — tudo bate certo.