Considere o conjunto V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais.
Verifique que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, verificando as seguintes propriedade para todos u, v, w \in V e \lambda, \mu \in \mathbb{R},
(\lambda+\mu) u=\lambda u+\mu u;

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais (adição de vetores e multiplicação por escalar).
A tarefa é verificar, para todos u\in V e para todos \lambda,\mu\in\mathbb{R}, a igualdade
(\lambda+\mu) u=\lambda u+\mu u.
Lista das informações relevantes que o enunciado fornece:
  • V=\mathbb{R}^{2} (vetores são pares ordenados de números reais).
  • As operações são as usuais: adição componente a componente e multiplicação por escalar componente a componente.
  • É preciso mostrar a propriedade de distributividade dos escalares sobre o vetor: (\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u.

Passo 2

Definições que vamos usar (essas são as “regras usuais” em \mathbb{R}^2, explicadas calmamente):
  • Um vetor u\in\mathbb{R}^2 escreve-se como u=(u_1,u_2), onde u_1,u_2\in\mathbb{R}.
  • Multiplicação por escalar: para \alpha\in\mathbb{R} e u=(u_1,u_2),
\alpha u = (\alpha u_1,\;\alpha u_2).
Isto significa que cada componente do vetor é multiplicada pelo escalar.
  • Adição de vetores: para a=(a_1,a_2) e b=(b_1,b_2),
a+b=(a_1+b_1,\;a_2+b_2).
Essas definições são elementares e vêm direto da construção de \mathbb{R}^2.

Passo 3

Calculemos a expressão da esquerda usando a definição de multiplicação por escalar:
(\lambda+\mu)u=(\lambda+\mu)(u_1,u_2)=\bigl((\lambda+\mu)u_1,\;(\lambda+\mu)u_2\bigr).
Aqui aplicámos a regra “multiplicar componente a componente” com o escalar \lambda+\mu.

Passo 4

Agora calculemos a expressão da direita, primeiro multiplicando cada vetor por seu escalar e depois somando:
\lambda u=(\lambda u_1,\;\lambda u_2), \qquad \mu u=(\mu u_1,\;\mu u_2).
Somando esses vetores componente a componente:
\lambda u+\mu u = (\lambda u_1+\mu u_1,\;\lambda u_2+\mu u_2).

Passo 5

Use a propriedade distributiva dos números reais (que é válida para todos u_1,u_2,\lambda,\mu\in\mathbb{R}):
\lambda u_1+\mu u_1=(\lambda+\mu)u_1, \qquad \lambda u_2+\mu u_2=(\lambda+\mu)u_2.
Portanto
\lambda u+\mu u = \bigl((\lambda+\mu)u_1,\;(\lambda+\mu)u_2\bigr).

Passo 6

Comparando o resultado do Passo 3 com o do Passo 5 vemos que as componentes correspondentes são iguais, logo os vetores são iguais:
(\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u.
Isto vale para quaisquer u_1,u_2 (ou seja, para qualquer u\in\mathbb{R}^2) e quaisquer \lambda,\mu\in\mathbb{R}. Assim a propriedade está verificada.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para sentir o resultado (apenas para fixar): tome u=(2,3), \lambda=4, \mu=5. Então
(\lambda+\mu)u=(4+5)(2,3)=9(2,3)=(18,27)
e
\lambda u+\mu u=4(2,3)+5(2,3)=(8,12)+(10,15)=(18,27),
mesmo resultado — tudo bate certo.

Resposta

(\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u

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