Considere o conjunto
com as operações usuais.
Verifique que
é um espaço vetorial sobre
, verificando as seguintes propriedade para todos
e
,
;
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com as operações usuais (adição e multiplicação por escalar) e pede para verificar a propriedade
para todos
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Os vetores
pertencem a . - As operações são as usuais em
(adição componente a componente).
A partir daqui vamos provar a igualdade pedida, tomando vetores arbitrários e usando a definição de adição em.
Passo 2
Escreve os vetores em coordenadas. Seja
onde
. (Escolher coordenadas assim é possível porque cada elemento de
é um par ordenado de reais.)
Passo 3
Lembra qual é a definição de adição em
: para quaisquer pares
,
Isto significa que somamos as componentes correspondentes.
Passo 4
Calcule
usando a definição:
Passo 5
Agora calcule
. Substituindo
do passo anterior:
Passo 6
Calcule
e depois
. Primeiro:
Então
Passo 7
Use a propriedade associativa da adição em
: para quaisquer reais
vale
. Aplicando isso a cada componente:
Portanto as duas expressões obtidas nos passos 5 e 6 coincidem componente a componente, isto é,