Considere o conjunto V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais.
Verifique que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, verificando as seguintes propriedade para todos u, v, w \in V e \lambda, \mu \in \mathbb{R},
(u+v)+w=u+(v+w);

Passo 1

O enunciado dá o conjunto V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais (adição e multiplicação por escalar) e pede para verificar a propriedade
(u+v)+w = u+(v+w)
para todos u,v,w\in V.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores u,v,w pertencem a \mathbb{R}^{2}.
  • As operações são as usuais em \mathbb{R}^{2} (adição componente a componente).
    A partir daqui vamos provar a igualdade pedida, tomando vetores arbitrários e usando a definição de adição em \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Escreve os vetores em coordenadas. Seja
u=(u_1,u_2),\qquad v=(v_1,v_2),\qquad w=(w_1,w_2),
onde u_1,u_2,v_1,v_2,w_1,w_2\in\mathbb{R}. (Escolher coordenadas assim é possível porque cada elemento de \mathbb{R}^{2} é um par ordenado de reais.)

Passo 3

Lembra qual é a definição de adição em \mathbb{R}^{2}: para quaisquer pares (a,b),(c,d)\in\mathbb{R}^{2},
(a,b)+(c,d)=(a+c,\; b+d).
Isto significa que somamos as componentes correspondentes.

Passo 4

Calcule u+v usando a definição:
u+v = (u_1,u_2)+(v_1,v_2) = (u_1+v_1,\; u_2+v_2).

Passo 5

Agora calcule (u+v)+w. Substituindo u+v do passo anterior:
(u+v)+w = (u_1+v_1,\; u_2+v_2) + (w_1,w_2) = \bigl((u_1+v_1)+w_1,\; (u_2+v_2)+w_2\bigr).

Passo 6

Calcule v+w e depois u+(v+w). Primeiro:
v+w = (v_1,v_2)+(w_1,w_2) = (v_1+w_1,\; v_2+w_2).
Então
u+(v+w) = (u_1,u_2) + (v_1+w_1,\; v_2+w_2) = \bigl(u_1+(v_1+w_1),\; u_2+(v_2+w_2)\bigr).

Passo 7

Use a propriedade associativa da adição em \mathbb{R}: para quaisquer reais a,b,c vale (a+b)+c=a+(b+c). Aplicando isso a cada componente:
(u_1+v_1)+w_1 = u_1+(v_1+w_1), \qquad (u_2+v_2)+w_2 = u_2+(v_2+w_2).
Portanto as duas expressões obtidas nos passos 5 e 6 coincidem componente a componente, isto é,
(u+v)+w = u+(v+w).

Resposta

(u+v)+w = u+(v+w) = (u_1+v_1+w_1,\; u_2+v_2+w_2)

Exercícios relacionados