Considere o conjunto V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais.
Verifique que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, verificando as seguintes propriedade para todos u, v, w \in V e \lambda, \mu \in \mathbb{R},
\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o conjunto V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais (adição de vetores e multiplicação por escalar).
  • Queremos verificar a propriedade
\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v
para todos u,v\in V e todo \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 2

Escrevendo os vetores em coordenadas (isto é, descrevendo claramente as operações usuais):
  • Seja u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2), com u_1,u_2,v_1,v_2\in\mathbb{R}.
  • A adição de vetores em \mathbb{R}^2 é definida por
u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2).
  • A multiplicação de um vetor por um escalar \lambda\in\mathbb{R} é
\lambda u=(\lambda u_1,\lambda u_2).
Aqui cada entrada é um número real e as operações nas entradas são as usuais em \mathbb{R}.

Passo 3

Calcular o lado esquerdo \lambda(u+v) usando as definições escritas:
  • Primeiro escrevemos u+v pelas componentes:
u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2).
  • Aplicando a multiplicação pelo escalar \lambda a esse vetor:
\lambda(u+v)=\bigl(\lambda(u_1+v_1),\\ \lambda(u_2+v_2)\bigr).

Passo 4

Usar a propriedade distributiva dos reais para expandir cada componente:
  • Na álgebra dos números reais vale, para quaisquer a,b,\lambda\in\mathbb{R}, a identidade \lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b.
  • Aplicando isso às componentes obtemos
\lambda(u_1+v_1)=\lambda u_1+\lambda v_1, \qquad \lambda(u_2+v_2)=\lambda u_2+\lambda v_2.
  • Assim
\lambda(u+v)=\bigl(\lambda u_1+\lambda v_1,\\ \lambda u_2+\lambda v_2\bigr).

Passo 5

Reescrever o resultado em termos de vetores e concluir:
  • Podemos agrupar as componentes como soma de dois vetores:
\bigl(\lambda u_1+\lambda v_1,\\ \lambda u_2+\lambda v_2\bigr) =(\lambda u_1,\lambda u_2)+(\lambda v_1,\lambda v_2).
  • Pelas definições de multiplicação escalar e adição em \mathbb{R}^2 isso é exatamente
(\lambda u_1,\lambda u_2)+(\lambda v_1,\lambda v_2)=\lambda u+\lambda v.
  • Portanto juntando as igualdades anteriores obtemos
\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v,
para todos u,v\in\mathbb{R}^2 e todo \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia (ilustrativo):
  • Tome u=(1,2), v=(3,4) e \lambda=2.
  • Então u+v=(4,6) e \lambda(u+v)=2(4,6)=(8,12).
  • Por outro lado \lambda u=(2,4) e \lambda v=(6,8), e \lambda u+\lambda v=(8,12).
  • Os dois lados coincidem, como mostrado em geral acima.

Resposta

\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v para todos u,v\in\mathbb{R}^2 e todo \lambda\in\mathbb{R}.

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