Considere o conjunto
com as operações usuais.
Verifique que
é um espaço vetorial sobre
, verificando as seguintes propriedade para todos
e
,
;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o conjunto
com as operações usuais (adição de vetores e multiplicação por escalar). - Queremos verificar a propriedade
para todos
e todo
.
Passo 2
Escrevendo os vetores em coordenadas (isto é, descrevendo claramente as operações usuais):
- Seja
e , com . - A adição de vetores em
é definida por
- A multiplicação de um vetor por um escalar
é
Aqui cada entrada é um número real e as operações nas entradas são as usuais em
.
Passo 3
Calcular o lado esquerdo
usando as definições escritas:
- Primeiro escrevemos
pelas componentes:
- Aplicando a multiplicação pelo escalar
a esse vetor:
Passo 4
Usar a propriedade distributiva dos reais para expandir cada componente:
- Na álgebra dos números reais vale, para quaisquer
, a identidade . - Aplicando isso às componentes obtemos
- Assim
Passo 5
Reescrever o resultado em termos de vetores e concluir:
- Podemos agrupar as componentes como soma de dois vetores:
- Pelas definições de multiplicação escalar e adição em
isso é exatamente
- Portanto juntando as igualdades anteriores obtemos
para todos
e todo
.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia (ilustrativo):
- Tome
, e . - Então
e . - Por outro lado
e , e . - Os dois lados coincidem, como mostrado em geral acima.