Considere
V=\left\{p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}\right\}
Verifique que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
V=\left\{p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mid a_{0},a_{1},a_{2}\in\mathbb{R}\right\}.
O que se pede: verificar que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Um elemento genérico de V é um polinômio de grau no máximo 2 escrito como p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}, com coeficientes a_{0},a_{1},a_{2}\in\mathbb{R}.
  • As operações consideradas são as operações usuais entre polinómios:
    • Soma de polinômios: se p(x) e q(x) estão em V, então p+q é o polinômio obtido somando coeficiente a coeficiente.
    • Multiplicação por escalar real: se \alpha\in\mathbb{R} e p(x)\in V, \alpha p é o polinômio obtido multiplicando cada coeficiente por \alpha.
O objetivo agora é verificar, passo a passo, as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Definição explícita dos objetos que vamos manipular e do que cada símbolo significa.
Sejam
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},\qquad q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2},
com a_{i},b_{i}\in\mathbb{R} para i=0,1,2. Seja \alpha,\beta\in\mathbb{R} escalares.
A soma p+q e o produto por escalar \alpha p são dados por
(p+q)(x)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2},
(\alpha p)(x)=(\alpha a_{0})+(\alpha a_{1})x+(\alpha a_{2})x^{2}.
Isto explicita como operar com os coeficientes; cada termo é obtido usando as operações usuais em \mathbb{R}.

Passo 3

Fechamento em relação à soma (propriedade necessária).
Mostre que p+q\in V. Pelo passo anterior,
(p+q)(x)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}.
Como a_{i}+b_{i}\in\mathbb{R} para i=0,1,2 (fechamento da soma em \mathbb{R}), segue que p+q é um polinômio cujos coeficientes são reais e de grau no máximo 2. Logo p+q\in V. Isto é exatamente a verificação do fechamento para a soma.

Passo 4

Fechamento em relação à multiplicação por escalar.
Mostre que \alpha p\in V. Temos
(\alpha p)(x)=(\alpha a_{0})+(\alpha a_{1})x+(\alpha a_{2})x^{2}.
Como \alpha a_{i}\in\mathbb{R} para i=0,1,2 (fechamento da multiplicação em \mathbb{R}), segue que \alpha p é um polinômio de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Portanto \alpha p\in V. Assim o conjunto é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 5

Comutatividade da soma.
Queremos mostrar p+q=q+p. Pelas expressões dos coeficientes,
(p+q)(x)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2},
(q+p)(x)=(b_{0}+a_{0})+(b_{1}+a_{1})x+(b_{2}+a_{2})x^{2}.
Como a soma em \mathbb{R} é comutativa, a_{i}+b_{i}=b_{i}+a_{i} para i=0,1,2. Portanto (p+q)(x)=(q+p)(x), isto é, a soma é comutativa em V.

Passo 6

Associatividade da soma.
Mostre (p+q)+r=p+(q+r). Tome
r(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2},
com c_{i}\in\mathbb{R}. Calculando os coeficientes:
((p+q)+r)(x) = \big((a_{0}+b_{0})+c_{0}\big)+\big((a_{1}+b_{1})+c_{1}\big)x+\big((a_{2}+b_{2})+c_{2}\big)x^{2},
(p+(q+r))(x) = \big(a_{0}+(b_{0}+c_{0})\big)+\big(a_{1}+(b_{1}+c_{1})\big)x+\big(a_{2}+(b_{2}+c_{2})\big)x^{2}.
Pela associatividade da soma em \mathbb{R}, (a_{i}+b_{i})+c_{i}=a_{i}+(b_{i}+c_{i}) para i=0,1,2. Logo os coeficientes coincidem e (p+q)+r=p+(q+r).

Passo 7

Existência do elemento neutro (vetor zero) e inverso aditivo.
Defina o polinômio zero
0_V(x)=0+0x+0x^{2}.
Para qualquer p\in V,
(p+0_V)(x)=(a_{0}+0)+(a_{1}+0)x+(a_{2}+0)x^{2}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}=p(x).
Portanto 0_V é o elemento neutro da soma.
O inverso aditivo de p é o polinômio -p definido por
(-p)(x)=(-a_{0})+(-a_{1})x+(-a_{2})x^{2}.
Então
(p+(-p))(x)=(a_{0}+(-a_{0}))+(a_{1}+(-a_{1}))x+(a_{2}+(-a_{2}))x^{2}=0+0x+0x^{2}=0_V(x),
usando que todo número real tem inverso aditivo. Assim todo vetor tem inverso aditivo em V.

Passo 8

Distributividade do produto escalar em relação à soma de vetores.
Queremos \alpha(p+q)=\alpha p+\alpha q. Pelo passo 2,
\alpha(p+q)(x)=\alpha\big((a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}\big)
=(\alpha(a_{0}+b_{0}))+(\alpha(a_{1}+b_{1}))x+(\alpha(a_{2}+b_{2}))x^{2}.
Pela distributividade em \mathbb{R}, \alpha(a_{i}+b_{i})=\alpha a_{i}+\alpha b_{i}. Assim os coeficientes são os mesmos de \alpha p+\alpha q, e a propriedade vale.

Passo 9

Distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares.
Queremos (\alpha+\beta)p=\alpha p+\beta p. Calculando,
(\alpha+\beta)p(x)=((\alpha+\beta)a_{0})+((\alpha+\beta)a_{1})x+((\alpha+\beta)a_{2})x^{2}.
Pela distributividade em \mathbb{R}, (\alpha+\beta)a_{i}=\alpha a_{i}+\beta a_{i} para i=0,1,2. Logo (\alpha+\beta)p=\alpha p+\beta p.

Passo 10

Associatividade do produto escalar e existência do escalar identidade.
Associatividade: mostre \alpha(\beta p)=(\alpha\beta)p. Temos
\alpha(\beta p)(x)=\alpha\big((\beta a_{0})+(\beta a_{1})x+(\beta a_{2})x^{2}\big)
=(\alpha\beta a_{0})+(\alpha\beta a_{1})x+(\alpha\beta a_{2})x^{2}.
Isto é exatamente (\alpha\beta)p(x). Portanto \alpha(\beta p)=(\alpha\beta)p.
Identidade escalar: para 1\in\mathbb{R},
1\cdot p(x)=(1\cdot a_{0})+(1\cdot a_{1})x+(1\cdot a_{2})x^{2}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}=p(x).
Logo 1\cdot p=p.

Passo 11

Conclusão final do processo de verificação.
Foram verificadas:
  • fechamento para soma e multiplicação por escalar;
  • as propriedades de soma: comutatividade, associatividade, existência de neutro e inverso aditivo;
  • as propriedades envolvendo escalares: distributividade em relação a vetores e escalares, associatividade do produto escalar e existência de elemento neutro escalar.
Todas essas propriedades são exatamente as axiomas que definem um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Como cada uma foi satisfeita (usando apenas propriedades elementares dos números reais aplicadas coeficiente a coeficiente), concluímos que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

Sim: V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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