Considere
Verifique que
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que se pede: verificar que
é um espaço vetorial sobre
.
Informações relevantes fornecidas:
- Um elemento genérico de
é um polinômio de grau no máximo 2 escrito como , com coeficientes . - As operações consideradas são as operações usuais entre polinómios:
- Soma de polinômios: se
e estão em , então é o polinômio obtido somando coeficiente a coeficiente. - Multiplicação por escalar real: se
e , é o polinômio obtido multiplicando cada coeficiente por .
- Soma de polinômios: se
O objetivo agora é verificar, passo a passo, as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Definição explícita dos objetos que vamos manipular e do que cada símbolo significa.
Sejam
com
para
. Seja
escalares.
A soma
e o produto por escalar
são dados por
Isto explicita como operar com os coeficientes; cada termo é obtido usando as operações usuais em
.
Passo 3
Fechamento em relação à soma (propriedade necessária).
Mostre que
. Pelo passo anterior,
Como
para
(fechamento da soma em
), segue que
é um polinômio cujos coeficientes são reais e de grau no máximo 2. Logo
. Isto é exatamente a verificação do fechamento para a soma.
Passo 4
Fechamento em relação à multiplicação por escalar.
Mostre que
. Temos
Como
para
(fechamento da multiplicação em
), segue que
é um polinômio de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Portanto
. Assim o conjunto é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 5
Comutatividade da soma.
Queremos mostrar
. Pelas expressões dos coeficientes,
Como a soma em
é comutativa,
para
. Portanto
, isto é, a soma é comutativa em
.
Passo 6
Associatividade da soma.
Mostre
. Tome
com
. Calculando os coeficientes:
Pela associatividade da soma em
,
para
. Logo os coeficientes coincidem e
.
Passo 7
Existência do elemento neutro (vetor zero) e inverso aditivo.
Defina o polinômio zero
Para qualquer
,
Portanto
é o elemento neutro da soma.
O inverso aditivo de
é o polinômio
definido por
Então
usando que todo número real tem inverso aditivo. Assim todo vetor tem inverso aditivo em
.
Passo 8
Distributividade do produto escalar em relação à soma de vetores.
Queremos
. Pelo passo 2,
Pela distributividade em
,
. Assim os coeficientes são os mesmos de
, e a propriedade vale.
Passo 9
Distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares.
Queremos
. Calculando,
Pela distributividade em
,
para
. Logo
.
Passo 10
Associatividade do produto escalar e existência do escalar identidade.
Associatividade: mostre
. Temos
Isto é exatamente
. Portanto
.
Identidade escalar: para
,
Logo
.
Passo 11
Conclusão final do processo de verificação.
Foram verificadas:
- fechamento para soma e multiplicação por escalar;
- as propriedades de soma: comutatividade, associatividade, existência de neutro e inverso aditivo;
- as propriedades envolvendo escalares: distributividade em relação a vetores e escalares, associatividade do produto escalar e existência de elemento neutro escalar.
Todas essas propriedades são exatamente as axiomas que definem um espaço vetorial sobre
. Como cada uma foi satisfeita (usando apenas propriedades elementares dos números reais aplicadas coeficiente a coeficiente), concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Sim:
é um espaço vetorial sobre
.