Considere o conjunto
e o subconjunto
). Mostre que
não é um espaço vetorial, exibindo um contraexemplo explícito para o axioma de fechamento sob adição.
Passo 1
O enunciado dá o espaço ambiente
e o subconjunto
A tarefa é mostrar que
não é um espaço vetorial, fornecendo um contraexemplo explícito para o axioma de fechamento sob adição (isto é: mostrar dois vetores em
cuja soma NÃO pertence a
). Listei claramente o que é pedido e a informação disponível.
Passo 2
Lembrando o que significa “fechamento sob adição”: um subconjunto
é fechado sob adição se, para quaisquer vetores
e
em
, o vetor
também pertence a
. Para nossa definição de
, isso quer dizer: se
e
, então devemos ter
Vou procurar dois vetores simples em
cuja soma viole essa igualdade. A ideia é escolher vetores com produtos internos iguais a zero (fácil de checar), mas cuja soma origine um produto não nulo num dos lados.
Passo 3
Escolho os vetores muito simples
Verifico que
: aqui
e
, logo
, portanto
satisfaz a condição e pertence a
.
Verifico que
: aqui
e
, logo
e
.
Passo 4
Agora calculo a soma
Para ver se
devo checar se
. Computando,
Temos
, portanto a igualdade exigida pela definição de
falha para
. Assim
.
Passo 5
Concluo que
não é fechado sob adição (encontrei
com
). Como fechamento sob adição é um axioma necessário para ser espaço vetorial, segue que
não é um espaço vetorial.