Considere o conjunto V=\mathbb{R}^{4} e o subconjunto S=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4}: x_{1} \cdot x_{2}=\right. x_{3} \cdot x_{4} ). Mostre que S não é um espaço vetorial, exibindo um contraexemplo explícito para o axioma de fechamento sob adição.

Passo 1

O enunciado dá o espaço ambiente V=\mathbb{R}^{4} e o subconjunto
S=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4} \mid x_{1}\cdot x_{2}=x_{3}\cdot x_{4}\right\}.
A tarefa é mostrar que S não é um espaço vetorial, fornecendo um contraexemplo explícito para o axioma de fechamento sob adição (isto é: mostrar dois vetores em S cuja soma NÃO pertence a S). Listei claramente o que é pedido e a informação disponível.

Passo 2

Lembrando o que significa “fechamento sob adição”: um subconjunto S\subseteq V é fechado sob adição se, para quaisquer vetores u e v em S, o vetor u+v também pertence a S. Para nossa definição de S, isso quer dizer: se u=(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4})\in S e v=(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})\in S, então devemos ter
(u_{1}+v_{1})(u_{2}+v_{2})=(u_{3}+v_{3})(u_{4}+v_{4}).
Vou procurar dois vetores simples em S cuja soma viole essa igualdade. A ideia é escolher vetores com produtos internos iguais a zero (fácil de checar), mas cuja soma origine um produto não nulo num dos lados.

Passo 3

Escolho os vetores muito simples
u=(1,0,0,0),\qquad v=(0,1,0,0).
Verifico que u\in S: aqui u_{1}\cdot u_{2}=1\cdot 0=0 e u_{3}\cdot u_{4}=0\cdot 0=0, logo 1\cdot0=0, portanto u satisfaz a condição e pertence a S.
Verifico que v\in S: aqui v_{1}\cdot v_{2}=0\cdot 1=0 e v_{3}\cdot v_{4}=0\cdot 0=0, logo 0=0 e v\in S.

Passo 4

Agora calculo a soma
u+v=(1+0,\;0+1,\;0+0,\;0+0)=(1,1,0,0).
Para ver se u+v\in S devo checar se (u+v)_{1}\cdot (u+v)_{2}=(u+v)_{3}\cdot (u+v)_{4}. Computando,
(u+v)_{1}\cdot (u+v)_{2}=1\cdot 1=1, \qquad (u+v)_{3}\cdot (u+v)_{4}=0\cdot 0=0.
Temos 1\neq 0, portanto a igualdade exigida pela definição de S falha para u+v. Assim u+v\notin S.

Passo 5

Concluo que S não é fechado sob adição (encontrei u,v\in S com u+v\notin S). Como fechamento sob adição é um axioma necessário para ser espaço vetorial, segue que S não é um espaço vetorial.

Resposta

S não é um espaço vetorial. Por exemplo, u=(1,0,0,0)\in S e v=(0,1,0,0)\in S, porém u+v=(1,1,0,0)\notin S porque 1\cdot1\neq0\cdot0.

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