Considere o conjunto
com a operação de adição usual, mas com a multiplicação por escalar definida como:
. Verifique se
com estas operações forma um espaço vetorial sobre
. Se não, identifique qual(is) axioma(s) falha(m).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O conjunto é
. - A adição é a adição usual em
: para e ,
- A multiplicação por escalar é alterada e definida por, para
e ,
A pergunta do enunciado é: verificar se
com essas operações forma um espaço vetorial sobre
. Se não formar, identificar qual(is) axioma(s) falha(m).
Passo 2
Vou lembrar, de forma clara e curta, os axiomas que envolvem multiplicação por escalar (são aqueles que podem falhar por causa da definição dada). Para
e
os axiomas relevantes são:
Além desses, há também axiomas só com adição (fechamento, comutatividade, associatividade, existência do
e do inverso), mas como a adição é a usual em
esses axiomas normalmente se mantêm; eu vou checar tudo passo a passo.]
Passo 3
Verificando rapidamente os axiomas que dependem só da adição (porque a adição é a usual em
):
- Fechamento: se
então . OK. - Comutatividade:
. OK. - Associatividade:
. OK. - Existência do elemento neutro:
e . OK. - Existência de inversos: para
, e . OK.
Portanto todos os axiomas apenas de adição são satisfeitos.
Passo 4
Verificando fechamento da multiplicação por escalar:
- Para
e tem-se . Logo a operação produz sempre um vetor em . Fechamento sob multiplicação por escalar: OK.
Passo 5
Verificando o axioma (A1) — distributividade do escalar sobre soma de vetores:
Se e
, então
Se
Aplicando a definição,
Por outro lado,
Como
, os dois lados coincidem. Portanto (A1) é satisfeito.
Passo 6
Verificando o axioma (A2) — distributividade da soma de escalares sobre um vetor:
Para temos
Para
Já
Comparando os dois resultados observamos que, em geral,
a não ser que
. Ou seja, o lado direito duplica as coordenadas
e
enquanto o lado esquerdo não. Portanto (A2) falha em geral.
Passo 7
Um contraexemplo numérico simples que deixa isso óbvio: tome
e
. Então
enquanto
Como
, o axioma (A2) é violado.
Passo 8
Verificando por completude os axiomas restantes ligados a escalares:
- (A3) associatividade de escalares: para
e ,
e
Logo (A3) é satisfeito.
- (A4) elemento neutro escalar:
. Logo (A4) é satisfeito.
Passo 9
Conclusão: todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos exceto a distributividade da soma de escalares sobre um vetor, i.e., o axioma
falha (como mostrado no cálculo geral e no contraexemplo numérico).
Resposta
Não. Falha o axioma
(distributividade da soma de escalares sobre o vetor).