Considere o conjunto V=\mathbb{R}^{3} com a operação de adição usual, mas com a multiplicação por escalar definida como: \alpha \odot(x, y, z)=(\alpha x, y, z). Verifique se V com estas operações forma um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Se não, identifique qual(is) axioma(s) falha(m).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O conjunto é V=\mathbb{R}^3.
  • A adição é a adição usual em \mathbb{R}^3: para u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2),
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
  • A multiplicação por escalar é alterada e definida por, para \alpha\in\mathbb{R} e v=(x,y,z),
\alpha\odot (x,y,z)=(\alpha x,\;y,\;z).
A pergunta do enunciado é: verificar se V com essas operações forma um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Se não formar, identificar qual(is) axioma(s) falha(m).

Passo 2

Vou lembrar, de forma clara e curta, os axiomas que envolvem multiplicação por escalar (são aqueles que podem falhar por causa da definição dada). Para u,v\in V e \alpha,\beta\in\mathbb{R} os axiomas relevantes são:
\begin{aligned} &\text{(A1)}\quad \alpha\odot(u+v)=\alpha\odot u+\alpha\odot v,\\[4pt] &\text{(A2)}\quad (\alpha+\beta)\odot v=\alpha\odot v+\beta\odot v,\\[4pt] &\text{(A3)}\quad (\alpha\beta)\odot v=\alpha\odot(\beta\odot v),\\[4pt] &\text{(A4)}\quad 1\odot v = v. \end{aligned}
Além desses, há também axiomas só com adição (fechamento, comutatividade, associatividade, existência do 0 e do inverso), mas como a adição é a usual em \mathbb{R}^3 esses axiomas normalmente se mantêm; eu vou checar tudo passo a passo.]

Passo 3

Verificando rapidamente os axiomas que dependem só da adição (porque a adição é a usual em \mathbb{R}^3):
  • Fechamento: se u,v\in\mathbb{R}^3 então u+v\in\mathbb{R}^3. OK.
  • Comutatividade: u+v=v+u. OK.
  • Associatividade: (u+v)+w=u+(v+w). OK.
  • Existência do elemento neutro: 0=(0,0,0) e u+0=u. OK.
  • Existência de inversos: para u=(x,y,z), -u=(-x,-y,-z) e u+(-u)=0. OK.
    Portanto todos os axiomas apenas de adição são satisfeitos.

Passo 4

Verificando fechamento da multiplicação por escalar:
  • Para \alpha\in\mathbb{R} e v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 tem-se \alpha\odot v=(\alpha x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Logo a operação produz sempre um vetor em V. Fechamento sob multiplicação por escalar: OK.

Passo 5

Verificando o axioma (A1) — distributividade do escalar sobre soma de vetores:
Se u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2), então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando a definição,
\alpha\odot(u+v)=\big(\alpha(x_1+x_2),\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\big).
Por outro lado,
\alpha\odot u+\alpha\odot v=(\alpha x_1,y_1,z_1)+(\alpha x_2,y_2,z_2)=\big(\alpha x_1+\alpha x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\big).
Como \alpha(x_1+x_2)=\alpha x_1+\alpha x_2, os dois lados coincidem. Portanto (A1) é satisfeito.

Passo 6

Verificando o axioma (A2) — distributividade da soma de escalares sobre um vetor:
Para v=(x,y,z) temos
(\alpha+\beta)\odot v=\big((\alpha+\beta)x,\;y,\;z\big).
\alpha\odot v+\beta\odot v=(\alpha x,y,z)+(\beta x,y,z)=\big(\alpha x+\beta x,\;y+y,\;z+z\big)=\big((\alpha+\beta)x,\;2y,\;2z\big).
Comparando os dois resultados observamos que, em geral,
(\alpha+\beta)\odot v=\big((\alpha+\beta)x,\;y,\;z\big)\neq\big((\alpha+\beta)x,\;2y,\;2z\big)=\alpha\odot v+\beta\odot v,
a não ser que y=z=0. Ou seja, o lado direito duplica as coordenadas y e z enquanto o lado esquerdo não. Portanto (A2) falha em geral.

Passo 7

Um contraexemplo numérico simples que deixa isso óbvio: tome \alpha=\beta=1 e v=(1,1,0). Então
(\alpha+\beta)\odot v=2\odot(1,1,0)=(2,1,0),
enquanto
\alpha\odot v+\beta\odot v=1\odot(1,1,0)+1\odot(1,1,0)=(1,1,0)+(1,1,0)=(2,2,0).
Como (2,1,0)\neq(2,2,0), o axioma (A2) é violado.

Passo 8

Verificando por completude os axiomas restantes ligados a escalares:
  • (A3) associatividade de escalares: para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e v=(x,y,z),
(\alpha\beta)\odot v=\big((\alpha\beta)x,\;y,\;z\big)
e
\alpha\odot(\beta\odot v)=\alpha\odot(\beta x,y,z)=\big(\alpha(\beta x),\;y,\;z\big)=\big((\alpha\beta)x,\;y,\;z\big).
Logo (A3) é satisfeito.
  • (A4) elemento neutro escalar: 1\odot v=(1\cdot x,y,z)=(x,y,z)=v. Logo (A4) é satisfeito.

Passo 9

Conclusão: todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos exceto a distributividade da soma de escalares sobre um vetor, i.e., o axioma
(\alpha+\beta)\odot v=\alpha\odot v+\beta\odot v
falha (como mostrado no cálculo geral e no contraexemplo numérico).

Resposta

Não. Falha o axioma (\alpha+\beta)\odot v=\alpha\odot v+\beta\odot v (distributividade da soma de escalares sobre o vetor).

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