Seja V=\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 4 com coeficientes inteiros. V é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto V=\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) formado por todos os polinômios de grau menor ou igual a 4 cujos coeficientes são inteiros. A pergunta é: V é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}?
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Cada elemento de V é um polinômio p(x) com grau \le 4.
  • Os coeficientes desses polinômios pertencem a \mathbb{Z} (números inteiros).
  • O corpo sobre o qual se pergunta se V é espaço vetorial é \mathbb{R} (números reais).

Passo 2

Lembrete didático (o que precisa ser verdadeiro para V ser um espaço vetorial sobre \mathbb{R}). Um conjunto V com operações usuais (adição de polinômios e multiplicação por escalares) é espaço vetorial sobre \mathbb{R} se, entre outras coisas, satisfaça:
  • Contiver o vetor nulo (aqui, o polinômio zero).
  • For fechado sob adição: se p,q\in V então p+q\in V.
  • For fechado sob multiplicação por escalares: para todo \lambda\in\mathbb{R} e todo p\in V, tem-se \lambda p\in V.
    Vou explicar cada uma dessas condições de forma concreta para polinômios.

Passo 3

Verificando fechamento sob adição e existência de inverso aditivo (coisas que funcionam bem aqui). Escreva um polinômio genérico de V como
p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4,
com a_i\in\mathbb{Z} para i=0,\dots,4. Se q(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_4x^4 com b_i\in\mathbb{Z}, então
p(x)+q(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+\cdots+(a_4+b_4)x^4.
Como a soma de inteiros é inteiro, cada coeficiente a_i+b_i\in\mathbb{Z}. Logo p+q\in V — fechamento sob adição vale. O polinômio nulo 0 (todos coeficientes zero) tem coeficientes inteiros, então 0\in V. O inverso aditivo de p é -p com coeficientes -a_i, que também são inteiros, então o inverso aditivo existe em V. Até aqui nenhuma dificuldade: V é fechado para soma e para inversos.

Passo 4

Explicando com calma a condição que costuma falhar: fechamento sob multiplicação por escalares reais. Para ser espaço vetorial sobre \mathbb{R}, deve valer para todo \lambda\in\mathbb{R} e todo polinômio p\in V que \lambda p\in V. Em termos de coeficientes, se
p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_4x^4,
com a_i\in\mathbb{Z}, então
\lambda p(x)=(\lambda a_0)+(\lambda a_1)x+\cdots+(\lambda a_4)x^4.
Para que \lambda p pertença a V todos os coeficientes \lambda a_i precisam ser inteiros. Isso tem de acontecer para todo p\in V e todo \lambda\in\mathbb{R}. Parece forte — vamos ver com um exemplo simples.

Passo 5

Contraexemplo explícito que mostra a falha. Tome o polinômio constante
p(x)=1,
que pertence a V porque seu coeficiente (o constante) é 1\in\mathbb{Z}. Escolha o escalar real
\lambda=\tfrac{1}{2}\in\mathbb{R}.
Então
\lambda p(x)=\tfrac{1}{2}\cdot 1 = \tfrac{1}{2},
ou seja, o polinômio constante com coeficiente \tfrac{1}{2}. O coeficiente \tfrac{1}{2} não pertence a \mathbb{Z}, logo \lambda p\notin V. Portanto V não é fechado sob multiplicação por escalares reais. Como essa propriedade é obrigatória para um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, concluímos que V não pode ser um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 6

Comentário extra (didático e motivador): a falha é bem intuitiva — exigir coeficientes inteiros é uma condição aritmética forte que não resiste a multiplicação por um real qualquer (por exemplo, frações irracionais ou racionais que não dividem os coeficientes). Por isso V é, na melhor das hipóteses, um módulo sobre \mathbb{Z} (mas \mathbb{Z} não é corpo), ou ainda um subespaço quando se considera o corpo formado apenas pelos inteiros — porém inteiros não formam um corpo, então não serve. Não desanime: essa é uma verificação padrão em provas — basta dar um polinômio simples e um escalar real que produz coeficientes não inteiros para quebrar a propriedade.

Resposta

Não, V não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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