Seja
o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 4 com coeficientes inteiros.
é um espaço vetorial sobre o corpo
? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
formado por todos os polinômios de grau menor ou igual a
cujos coeficientes são inteiros. A pergunta é:
é um espaço vetorial sobre o corpo
?
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Cada elemento de
é um polinômio com grau . - Os coeficientes desses polinômios pertencem a
(números inteiros). - O corpo sobre o qual se pergunta se
é espaço vetorial é (números reais).
Passo 2
Lembrete didático (o que precisa ser verdadeiro para
ser um espaço vetorial sobre
). Um conjunto
com operações usuais (adição de polinômios e multiplicação por escalares) é espaço vetorial sobre
se, entre outras coisas, satisfaça:
- Contiver o vetor nulo (aqui, o polinômio zero).
- For fechado sob adição: se
então . - For fechado sob multiplicação por escalares: para todo
e todo , tem-se .
Vou explicar cada uma dessas condições de forma concreta para polinômios.
Passo 3
Verificando fechamento sob adição e existência de inverso aditivo (coisas que funcionam bem aqui). Escreva um polinômio genérico de
como
com
para
. Se
com
, então
Como a soma de inteiros é inteiro, cada coeficiente
. Logo
— fechamento sob adição vale. O polinômio nulo
(todos coeficientes zero) tem coeficientes inteiros, então
. O inverso aditivo de
é
com coeficientes
, que também são inteiros, então o inverso aditivo existe em
. Até aqui nenhuma dificuldade:
é fechado para soma e para inversos.
Passo 4
Explicando com calma a condição que costuma falhar: fechamento sob multiplicação por escalares reais. Para ser espaço vetorial sobre
, deve valer para todo
e todo polinômio
que
. Em termos de coeficientes, se
com
, então
Para que
pertença a
todos os coeficientes
precisam ser inteiros. Isso tem de acontecer para todo
e todo
. Parece forte — vamos ver com um exemplo simples.
Passo 5
Contraexemplo explícito que mostra a falha. Tome o polinômio constante
que pertence a
porque seu coeficiente (o constante) é
. Escolha o escalar real
Então
ou seja, o polinômio constante com coeficiente
. O coeficiente
não pertence a
, logo
. Portanto
não é fechado sob multiplicação por escalares reais. Como essa propriedade é obrigatória para um espaço vetorial sobre
, concluímos que
não pode ser um espaço vetorial sobre
.
Passo 6
Comentário extra (didático e motivador): a falha é bem intuitiva — exigir coeficientes inteiros é uma condição aritmética forte que não resiste a multiplicação por um real qualquer (por exemplo, frações irracionais ou racionais que não dividem os coeficientes). Por isso
é, na melhor das hipóteses, um módulo sobre
(mas
não é corpo), ou ainda um subespaço quando se considera o corpo formado apenas pelos inteiros — porém inteiros não formam um corpo, então não serve. Não desanime: essa é uma verificação padrão em provas — basta dar um polinômio simples e um escalar real que produz coeficientes não inteiros para quebrar a propriedade.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial sobre
.