Determine se cada conjunto é um subespaço do espaço vetorial indicado. Justifique sua resposta.
W=\left\{f \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}): f(0)=0\right\} em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto
W=\{f\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}): f(0)=0\}
é um subespaço do espaço vetorial \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}). Informações dadas:
  • \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 3.
  • W é o subconjunto formado por aqueles polinômios em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) que satisfazem a condição f(0)=0.
A pergunta é direta: “Sim ou não? Justifique.”

Passo 2

Relembrando o teste padrão para subespaço (sem complicar): Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se cumprir três propriedades:
  1. W não é vazio (geralmente mostrado mostrando que o vetor zero de V pertence a W).
  2. W é fechado sob soma: se u,v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Vou aplicar exatamente essas três verificações a W. Vou explicar cada passo com calma: por que é necessário e como checar.

Passo 3

Verificar que W não é vazio (existe o vetor zero em W).
O polinômio zero é o polinômio 0 definido por 0(x)=0 para todo x. Esse polinômio pertence a \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e satisfaz
0(0)=0.
Portanto 0\in W. Assim W não é vazio.
Comentário rápido: é importante porque todo subespaço deve conter o vetor zero; se o conjunto não tivesse nem o zero já seria descartado.

Passo 4

Descrever genericamente um elemento de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e ver a condição f(0)=0.
Um polinômio genérico em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) tem a forma
f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,
com a,b,c,d\in\mathbb{R}. Avaliando em x=0 obtemos
f(0)=d.
Logo a condição f(0)=0 é equivalente a exigir que o coeficiente constante seja zero, isto é d=0. Portanto os elementos de W são exatamente os polinômios da forma
f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx,
com a,b,c\in\mathbb{R}.
Essa observação já dá uma intuição forte: W são os polinômios sem termo constante.

Passo 5

Verificar fechamento sob soma.
Sejam f,g\in W. Pelo passo anterior, existêm a_1,b_1,c_1 e a_2,b_2,c_2 tais que
f(x)=a_1x^{3}+b_1x^{2}+c_1x,\qquad g(x)=a_2x^{3}+b_2x^{2}+c_2x.
A soma é
(f+g)(x)=(a_1+a_2)x^{3}+(b_1+b_2)x^{2}+(c_1+c_2)x.
Note que em (f+g)(x) não aparece termo constante: o coeficiente do termo x^{0} é 0+0=0. Portanto (f+g)(0)=0, ou seja (f+g)\in W. Concluímos que W é fechado sob adição.
Explicando a ideia: somar dois polinômios sem termo constante não consegue criar um termo constante — os coeficientes constantes somam-se, mas eram ambos zero.

Passo 6

Verificar fechamento sob multiplicação escalar.
Se f\in W então, como no passo 4,
f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx
para alguns a,b,c\in\mathbb{R}. Para qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R},
(\lambda f)(x)=\lambda a\,x^{3}+\lambda b\,x^{2}+\lambda c\,x.
O coeficiente constante permanece zero ( \lambda\cdot 0=0), logo (\lambda f)(0)=0 e \lambda f\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação escalar.
Comentário: multiplicar por escalar só escala os coeficientes; se o coeficiente constante era zero, continua sendo zero.

Passo 7

Conclusão e observação adicional.
Como W contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, pelos critérios de subespaço temos que W é um subespaço de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Observação útil (não pedida, mas boa para fixar): uma base natural de W é \{x,x^{2},x^{3}\}, logo \dim(W)=3. Isso confirma também a descrição que W são os polinômios de grau \le 3 com coeficiente constante zero.

Resposta

Sim. W é um subespaço de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

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