Determine se cada conjunto é um subespaço do espaço vetorial indicado. Justifique sua resposta.
em
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Informações dadas:
-
é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . -
é o subconjunto formado por aqueles polinômios em que satisfazem a condição .
A pergunta é direta: “Sim ou não? Justifique.”
Passo 2
Relembrando o teste padrão para subespaço (sem complicar): Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se cumprir três propriedades:
-
não é vazio (geralmente mostrado mostrando que o vetor zero de pertence a ). -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Vou aplicar exatamente essas três verificações a
. Vou explicar cada passo com calma: por que é necessário e como checar.
Passo 3
Verificar que
não é vazio (existe o vetor zero em
).
O polinômio zero é o polinômio
definido por
para todo
. Esse polinômio pertence a
e satisfaz
Portanto
. Assim
não é vazio.
Comentário rápido: é importante porque todo subespaço deve conter o vetor zero; se o conjunto não tivesse nem o zero já seria descartado.
Passo 4
Descrever genericamente um elemento de
e ver a condição
.
Um polinômio genérico em
tem a forma
com
. Avaliando em
obtemos
Logo a condição
é equivalente a exigir que o coeficiente constante seja zero, isto é
. Portanto os elementos de
são exatamente os polinômios da forma
com
.
Essa observação já dá uma intuição forte:
são os polinômios sem termo constante.
Passo 5
Verificar fechamento sob soma.
Sejam
. Pelo passo anterior, existêm
e
tais que
A soma é
Note que em
não aparece termo constante: o coeficiente do termo
é
. Portanto
, ou seja
. Concluímos que
é fechado sob adição.
Explicando a ideia: somar dois polinômios sem termo constante não consegue criar um termo constante — os coeficientes constantes somam-se, mas eram ambos zero.
Passo 6
Verificar fechamento sob multiplicação escalar.
Se
então, como no passo 4,
para alguns
. Para qualquer escalar
,
O coeficiente constante permanece zero (
), logo
e
. Portanto
é fechado sob multiplicação escalar.
Comentário: multiplicar por escalar só escala os coeficientes; se o coeficiente constante era zero, continua sendo zero.
Passo 7
Conclusão e observação adicional.
Como
contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, pelos critérios de subespaço temos que
é um subespaço de
.
Observação útil (não pedida, mas boa para fixar): uma base natural de
é
, logo
. Isso confirma também a descrição que
são os polinômios de grau
com coeficiente constante zero.
Resposta
Sim.
é um subespaço de
.