Considere o conjunto V=\{u \in \mathbb{R} ; u>0\} munido com as operações: soma u \oplus v=u v e multiplicação por escalar k * u=u^{k}, para u, v \in V e k \in \mathbb{R}. Verifique que (V, \oplus, *) é um espaço vetorial real.

Passo 1

O exercício pede para verificar que o conjunto V=\{u\in\mathbb{R}\mid u>0\}, com as operações
u\oplus v = u v \quad\text{e}\quad k * u = u^{k},
para u,v\in V e k\in\mathbb{R}, é um espaço vetorial real.
Informações dadas e o que devemos checar:
  • O conjunto é V=\{u\in\mathbb{R}\mid u>0\}.
  • A “adição” entre vetores é dada por multiplicação usual de números reais positivos: u\oplus v = u v.
  • A multiplicação por escalar é dada por potência com expoente real: k * u = u^{k}.
  • Precisamos verificar todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}: fechamento das operações, associatividade e comutatividade da adição, existência de elemento neutro aditivo, existência de inversos aditivos, compatibilidade e distributividades envolvendo escalar e vetor, e que 1*u=u.

Passo 2

Fechamento da operação \oplus (adição): mostrar que u\oplus v\in V quando u,v\in V.
Explicação: se u>0 e v>0 então o produto u v é estritamente positivo. Assim
u\oplus v = u v > 0,
logo u\oplus v\in V.
Comentário prático: multiplicar dois números positivos dá outro positivo — simples e direto.

Passo 3

Associatividade da adição: mostrar que (u\oplus v)\oplus w = u\oplus(v\oplus w) para u,v,w\in V.
Desenvolvimento: usando a definição,
(u\oplus v)\oplus w = (u v)\oplus w = (u v) w
e
u\oplus (v\oplus w) = u\oplus (v w) = u (v w).
Como a multiplicação usual é associativa, (u v) w = u (v w). Portanto
(u\oplus v)\oplus w = u\oplus(v\oplus w).

Passo 4

Comutatividade da adição: mostrar que u\oplus v = v\oplus u.
Desenvolvimento: por definição u\oplus v = u v e v\oplus u = v u. Pela comutatividade da multiplicação real, u v = v u. Logo u\oplus v = v\oplus u.

Passo 5

Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero): procurar e\in V tal que u\oplus e = u para todo u\in V.
Resolução: resolver u\oplus e = u v com v=e deve dar u e = u. Para todo u>0 isso exige e=1. Verificação: e=1 pertence a V porque 1>0, e
u\oplus 1 = u\cdot 1 = u,
portanto o elemento neutro aditivo é 1. Em notação de espaço vetorial, o “vetor zero” é 1.

Passo 6

Existência do inverso aditivo para cada u\in V: para dado u>0 existe v\in V tal que u\oplus v = 1.
Resolução: queremos u v = 1. Tomando v = u^{-1} (o inverso multiplicativo usual), temos v>0 e
u\oplus u^{-1} = u\cdot u^{-1} = 1.
Logo o inverso aditivo de u é u^{-1}, que pertence a V. Observação prática: no nosso espaço, “inverso aditivo” significa “inverso multiplicativo usual”.

Passo 7

Fechamento da multiplicação por escalar: mostrar que k * u \in V para todo k\in\mathbb{R} e u\in V.
Explicação e justificativa: para u>0 e k\in\mathbb{R} definimos u^{k}. Usamos a representação por funções exponenciais: como u>0 existe \ln u\in\mathbb{R} e
u^{k} = e^{k\ln u}.
A função exponencial e^{x} é sempre positiva, então u^{k} > 0. Portanto k * u = u^{k}\in V. Isso garante o fechamento.

Passo 8

Compatibilidade de multiplicação por escalares (associatividade entre escalares): verificar (k\ell)*u = k*(\ell * u) para k,\ell\in\mathbb{R}, u\in V.
Cálculo:
(k\ell)*u = u^{k\ell},
enquanto
k*(\ell * u) = k*(u^{\ell}) = (u^{\ell})^{k}.
Usando a regra de potências (u^{\ell})^{k} = u^{\ell k} (para u>0 e k,\ell\in\mathbb{R}) e observando \ell k = k\ell, concluímos
(k\ell)*u = k*(\ell * u).

Passo 9

Elemento neutro do corpo agindo como identidade: verificar 1 * u = u para todo u\in V.
Cálculo direto:
1 * u = u^{1} = u.
Portanto o escalar 1 age como identidade, como exigido.

Passo 10

Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: verificar k*(u\oplus v) = (k* u)\oplus (k* v).
Desenvolvimento:
k*(u\oplus v) = k*(u v) = (u v)^{k}.
Usando a propriedade de potências (u v)^{k} = u^{k} v^{k} (válida para u,v>0 e k\in\mathbb{R}), obtemos
(u v)^{k} = u^{k} v^{k} = (k*u)\oplus (k*v),
pois \oplus é multiplicação usual. Assim a distributividade é satisfeita.

Passo 11

Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: verificar (k+\ell) * u = (k*u)\oplus (\ell*u).
Desenvolvimento:
(k+\ell)*u = u^{k+\ell}.
Pelo fato de potências com mesma base satisfazerem u^{k+\ell} = u^{k} u^{\ell}, temos
u^{k+\ell} = u^{k} u^{\ell} = (k*u)\oplus(\ell*u).
Portanto a segunda distributividade é satisfeita.

Passo 12

Observações adicionais (consistência e propriedades derivadas):
  • O “vetor zero” é 1, e de fato 0 * u = u^{0} = 1 que é o elemento neutro aditivo — isso mostra a coerência com a propriedade conhecida de espaços vetoriais em que 0 escalar vezes qualquer vetor dá o vetor zero do espaço. Aqui isso aparece como 0*u=1.
  • O inverso aditivo de u é u^{-1}, que também se escreve (-1)*u = u^{-1}. Isso é coerente: (-1)*u = u^{-1} e u\oplus u^{-1}=1.

Passo 13

Conclusão formal: já verificamos fechamento das operações, associatividade e comutatividade da adição, existência de elemento neutro aditivo e de inversos aditivos, compatibilidade de multiplicação por escalares, identidade escalar, e as duas propriedades distributivas. Portanto todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial sobre \mathbb{R} estão satisfeitas por (V,\oplus,*).

Resposta

Sim. (V,\oplus,*) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. O elemento neutro aditivo é 1 e o inverso aditivo de u é u^{-1}.

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