Considere o conjunto
munido com as operações: soma
e multiplicação por escalar
, para
e
. Verifique que
é um espaço vetorial real.
Passo 1
O exercício pede para verificar que o conjunto
, com as operações
para
e
, é um espaço vetorial real.
Informações dadas e o que devemos checar:
Informações dadas e o que devemos checar:
- O conjunto é
. - A “adição” entre vetores é dada por multiplicação usual de números reais positivos:
. - A multiplicação por escalar é dada por potência com expoente real:
. - Precisamos verificar todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial sobre o corpo
: fechamento das operações, associatividade e comutatividade da adição, existência de elemento neutro aditivo, existência de inversos aditivos, compatibilidade e distributividades envolvendo escalar e vetor, e que .
Passo 2
Fechamento da operação
(adição): mostrar que
quando
.
Explicação: se e
então o produto
é estritamente positivo. Assim
Explicação: se
logo
.
Comentário prático: multiplicar dois números positivos dá outro positivo — simples e direto.
Comentário prático: multiplicar dois números positivos dá outro positivo — simples e direto.
Passo 3
Associatividade da adição: mostrar que
para
.
Desenvolvimento: usando a definição,
Desenvolvimento: usando a definição,
e
Como a multiplicação usual é associativa,
. Portanto
Passo 4
Comutatividade da adição: mostrar que
.
Desenvolvimento: por definição e
. Pela comutatividade da multiplicação real,
. Logo
.
Desenvolvimento: por definição
Passo 5
Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero): procurar
tal que
para todo
.
Resolução: resolver com
deve dar
. Para todo
isso exige
. Verificação:
pertence a
porque
, e
Resolução: resolver
portanto o elemento neutro aditivo é
. Em notação de espaço vetorial, o “vetor zero” é
.
Passo 6
Existência do inverso aditivo para cada
: para dado
existe
tal que
.
Resolução: queremos . Tomando
(o inverso multiplicativo usual), temos
e
Resolução: queremos
Logo o inverso aditivo de
é
, que pertence a
. Observação prática: no nosso espaço, “inverso aditivo” significa “inverso multiplicativo usual”.
Passo 7
Fechamento da multiplicação por escalar: mostrar que
para todo
e
.
Explicação e justificativa: para e
definimos
. Usamos a representação por funções exponenciais: como
existe
e
Explicação e justificativa: para
A função exponencial
é sempre positiva, então
. Portanto
. Isso garante o fechamento.
Passo 8
Compatibilidade de multiplicação por escalares (associatividade entre escalares): verificar
para
,
.
Cálculo:
Cálculo:
enquanto
Usando a regra de potências
(para
e
) e observando
, concluímos
Passo 9
Elemento neutro do corpo agindo como identidade: verificar
para todo
.
Cálculo direto:
Cálculo direto:
Portanto o escalar
age como identidade, como exigido.
Passo 10
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: verificar
.
Desenvolvimento:
Desenvolvimento:
Usando a propriedade de potências
(válida para
e
), obtemos
pois
é multiplicação usual. Assim a distributividade é satisfeita.
Passo 11
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: verificar
.
Desenvolvimento:
Desenvolvimento:
Pelo fato de potências com mesma base satisfazerem
, temos
Portanto a segunda distributividade é satisfeita.
Passo 12
Observações adicionais (consistência e propriedades derivadas):
- O “vetor zero” é
, e de fato que é o elemento neutro aditivo — isso mostra a coerência com a propriedade conhecida de espaços vetoriais em que escalar vezes qualquer vetor dá o vetor zero do espaço. Aqui isso aparece como . - O inverso aditivo de
é , que também se escreve . Isso é coerente: e .
Passo 13
Conclusão formal: já verificamos fechamento das operações, associatividade e comutatividade da adição, existência de elemento neutro aditivo e de inversos aditivos, compatibilidade de multiplicação por escalares, identidade escalar, e as duas propriedades distributivas. Portanto todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial sobre
estão satisfeitas por
.
Resposta
Sim.
é um espaço vetorial sobre
. O elemento neutro aditivo é
e o inverso aditivo de
é
.