Em cada item abaixo, mostre que
e
são subespaços do espaço vetorial
.
(a)
e
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e define dois subconjuntos:
A tarefa é mostrar que
e
são subespaços de
.
Passo 2
Relembrando a definição prática que vamos usar: um subconjunto
é subespaço de
se e somente se:
- o vetor nulo de
pertence a ; -
é fechado sob soma: se então ; -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Vou aplicar essas três verificações a
e a
. Também vou mostrar, como reforço, uma descrição por geradores (span) quando for simples, porque isso é outra maneira direta de ver que algo é subespaço.
Passo 3
Verificação para
— vetor nulo: tomar
. Então
e
Logo
. Portanto a condição (1) está ok.
Passo 4
Verificação para
— fechamento por soma: sejam
Pelo pertencimento temos
Considere
. Então
e
Portanto
satisfaz as duas equações e assim
. Condição (2) verificada.
Passo 5
Verificação para
— fechamento por multiplicação escalar: seja
e
. Como
temos
e
. Então para
temos
Logo
. Condição (3) verificada.
Passo 6
Descrição alternativa e intuitiva de
(útil para provas curtinhas): resolver o sistema que define
. Da equação
obtemos
. Substituindo em
dá
, logo
. Portanto os vetores de
têm a forma
com
. Assim
o que mostra imediatamente que
é um subespaço (qualquer span é subespaço). Além disso, vemos que
.
Passo 7
Verificação para
— vetor nulo: tomar
. Então
logo
. Condição (1) ok.
Passo 8
Verificação para
— fechamento por soma: sejam
ou seja
Para
temos
Logo
. Condição (2) ok.
Passo 9
Verificação para
— fechamento por multiplicação escalar: seja
e
. Como
, para
obtemos
Portanto
. Condição (3) ok.
Passo 10
Descrição alternativa de
:
é o núcleo (kernel) da aplicação linear
isto é
. Qualquer núcleo de mapa linear é subespaço. Se quisermos um spanning explícito, parametrizamos:
da equação obtemos
da equação
portanto
mostrando que
é um subespaço de dimensão
.