Em cada item abaixo, mostre que U e W são subespaços do espaço vetorial V.
(a) V=\mathbb{R}^{4}, \quad U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x-y+z=0\right. e \left.x+z=0\right\}, \quad W=\{(x, y, z, t) \in \left.\mathbb{R}^{4} ; x+y+2 z-3 t=0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{4} e define dois subconjuntos:
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x-y+z=0\\ \text{e}\\ x+z=0\},
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x+y+2z-3t=0\}.
A tarefa é mostrar que U e W são subespaços de V.

Passo 2

Relembrando a definição prática que vamos usar: um subconjunto S\subseteq V é subespaço de V se e somente se:
  1. o vetor nulo de V pertence a S;
  2. S é fechado sob soma: se u,v\in S então u+v\in S;
  3. S é fechado sob multiplicação escalar: se u\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in S.
Vou aplicar essas três verificações a U e a W. Também vou mostrar, como reforço, uma descrição por geradores (span) quando for simples, porque isso é outra maneira direta de ver que algo é subespaço.

Passo 3

Verificação para U — vetor nulo: tomar (x,y,z,t)=(0,0,0,0). Então
x-y+z=0-0+0=0
e
x+z=0+0=0.
Logo (0,0,0,0)\in U. Portanto a condição (1) está ok.

Passo 4

Verificação para U — fechamento por soma: sejam
u=(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})\in U,\qquad v=(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2})\in U.
Pelo pertencimento temos
x_{1}-y_{1}+z_{1}=0,\quad x_{1}+z_{1}=0,
x_{2}-y_{2}+z_{2}=0,\quad x_{2}+z_{2}=0.
Considere u+v=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2},\,t_{1}+t_{2}). Então
(x_{1}+x_{2})-(y_{1}+y_{2})+(z_{1}+z_{2})=(x_{1}-y_{1}+z_{1})+(x_{2}-y_{2}+z_{2})=0+0=0,
e
(x_{1}+x_{2})+(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+z_{1})+(x_{2}+z_{2})=0+0=0.
Portanto u+v satisfaz as duas equações e assim u+v\in U. Condição (2) verificada.

Passo 5

Verificação para U — fechamento por multiplicação escalar: seja u=(x,y,z,t)\in U e \lambda\in\mathbb{R}. Como u\in U temos x-y+z=0 e x+z=0. Então para \lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda t) temos
\lambda x-\lambda y+\lambda z=\lambda(x-y+z)=\lambda\cdot 0=0,
\lambda x+\lambda z=\lambda(x+z)=\lambda\cdot 0=0.
Logo \lambda u\in U. Condição (3) verificada.

Passo 6

Descrição alternativa e intuitiva de U (útil para provas curtinhas): resolver o sistema que define U. Da equação x+z=0 obtemos x=-z. Substituindo em x-y+z=0 -z-y+z=-y=0, logo y=0. Portanto os vetores de U têm a forma
(x,y,z,t)=(-z,\,0,\,z,\,t)=z(-1,0,1,0)+t(0,0,0,1),
com z,t\in\mathbb{R}. Assim
U=\operatorname{span}\{(-1,0,1,0),(0,0,0,1)\},
o que mostra imediatamente que U é um subespaço (qualquer span é subespaço). Além disso, vemos que \dim U=2.

Passo 7

Verificação para W — vetor nulo: tomar (x,y,z,t)=(0,0,0,0). Então
x+y+2z-3t=0+0+0-0=0,
logo (0,0,0,0)\in W. Condição (1) ok.

Passo 8

Verificação para W — fechamento por soma: sejam
u=(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})\in W,\qquad v=(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2})\in W,
ou seja
x_{1}+y_{1}+2z_{1}-3t_{1}=0,\qquad x_{2}+y_{2}+2z_{2}-3t_{2}=0.
Para u+v=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2},t_{1}+t_{2}) temos
(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})-3(t_{1}+t_{2})
=(x_{1}+y_{1}+2z_{1}-3t_{1})+(x_{2}+y_{2}+2z_{2}-3t_{2})=0+0=0.
Logo u+v\in W. Condição (2) ok.

Passo 9

Verificação para W — fechamento por multiplicação escalar: seja u=(x,y,z,t)\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Como x+y+2z-3t=0, para \lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda t) obtemos
\lambda x+\lambda y+2\lambda z-3\lambda t=\lambda(x+y+2z-3t)=\lambda\cdot 0=0.
Portanto \lambda u\in W. Condição (3) ok.

Passo 10

Descrição alternativa de W: W é o núcleo (kernel) da aplicação linear
f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R},\qquad f(x,y,z,t)=x+y+2z-3t,
isto é W=\ker(f). Qualquer núcleo de mapa linear é subespaço. Se quisermos um spanning explícito, parametrizamos:
da equação x=-y-2z+3t obtemos
(x,y,z,t)=(-y-2z+3t,\,y,\,z,\,t)=y(-1,1,0,0)+z(-2,0,1,0)+t(3,0,0,1),
portanto
W=\operatorname{span}\{(-1,1,0,0),\,(-2,0,1,0),\,(3,0,0,1)\},
mostrando que W é um subespaço de dimensão 3.

Resposta

U=\operatorname{span}\{(-1,0,1,0),(0,0,0,1)\} (logo U é subespaço de \mathbb{R}^{4}).\n W=\operatorname{span}\{(-1,1,0,0),(-2,0,1,0),(3,0,0,1)\} (logo W é subespaço de \mathbb{R}^{4}).

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