Seja V=\mathbb{R}^{2}. Para (x, y) e \left(x_{1}, y_{1}\right) em V e \alpha \in \mathbb{R}, defina
(x, y)+\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(x+x_{1}, y+y_{1}\right) \quad \text { e } \quad \alpha \cdot(x, y)=(\alpha x, y) .
Com essas operações V é um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado dá o espaço V=\mathbb{R}^2 com as operações
(x,y)+(x_1,y_1)=(x+x_1,\;y+y_1)
e
\alpha\cdot(x,y)=(\alpha x,\;y).
A pergunta é: com essas operações, V é um espaço vetorial? \n
As informações relevantes que temos são exatamente as definições acima da soma e da multiplicação por escalar.

Passo 2

O que precisamos fazer (aula rápida antes de aplicar): um conjunto com operações forma um espaço vetorial sobre \mathbb{R} se satisfaz um conjunto de propriedades (axiomas). Vou listar os axiomas que vou verificar — cada símbolo vai aparecer depois com explicação:
\begin{aligned} &\text{(A1) Fechamento da soma: } u+v\in V.\\\ &\text{(A2) Comutatividade: } u+v=v+u.\\\ &\text{(A3) Associatividade da soma: }(u+v)+w=u+(v+w).\\\ &\text{(A4) Existência do neutro aditivo }0\text{ tal que }v+0=v.\\\ &\text{(A5) Existência do inverso aditivo }-v\text{ tal que }v+(-v)=0.\\\ &\text{(A6) Fechamento da multiplicação por escalar: }\alpha v\in V.\\\ &\text{(A7) Compatibilidade: }(\alpha\beta)v=\alpha(\beta v).\\\ &\text{(A8) Identidade escalar: }1\cdot v=v.\\\ &\text{(A9) Distributividade escalar sobre soma de vetores: }\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v.\\\ &\text{(A10) Distributividade sobre soma de escalares: }(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v. \end{aligned}êêçã
Cada letra u,v,w representa um elemento de V (isto é, um par (x,y)) e \alpha,\beta\in\mathbb{R} são escalares. Vou checar esses itens um a um; se qualquer um falhar, então não é espaço vetorial.

Passo 3

Fechamento da soma e da multiplicação por escalar (A1 e A6): \n
  • Soma: dadas (x,y) e (x_1,y_1) em V, a soma definida é (x+x_1,y+y_1), que é claramente um par de reais, portanto está em \mathbb{R}^2=V. Logo há fechamento da soma. \n
  • Multiplicação por escalar: para \alpha\in\mathbb{R} e (x,y)\in V temos \alpha\cdot(x,y)=(\alpha x,y), que também é um par de reais, logo está em V. Portanto há fechamento na multiplicação por escalar.

Passo 4

Comutatividade e associatividade da soma (A2 e A3): \n
  • Comutatividade: (x,y)+(x_1,y_1)=(x+x_1,y+y_1)=(x_1+x,y_1+y)=(x_1,y_1)+(x,y). Então a soma é comutativa. \n
  • Associatividade: calcule ((x,y)+(x_1,y_1))+(x_2,y_2). Pela definição,
((x+x_1,y+y_1)+(x_2,y_2))=(x+x_1+x_2,\;y+y_1+y_2).
Do outro lado,
(x,y)+((x_1,y_1)+(x_2,y_2))=(x,y)+(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=(x+x_1+x_2,\;y+y_1+y_2).
As duas expressões são iguais, logo a soma é associativa.

Passo 5

Neutro aditivo e inverso aditivo (A4 e A5): \n
  • Neutro: procuramos 0_V=(a,b) tal que (x,y)+(a,b)=(x,y) para todo (x,y). Pela definição da soma isso dá (x+a,y+b)=(x,y), então a=0 e b=0. Assim 0_V=(0,0) funciona. \n
  • Inverso: dado (x,y), queremos (u,v) com (x,y)+(u,v)=(0,0). Isso exige x+u=0 e y+v=0, logo u=-x e v=-y. Portanto o inverso aditivo é (-x,-y) e existe para todo vetor.

Passo 6

Compatibilidade da multiplicação por escalares e identidade escalar (A7 e A8): \n
  • Compatibilidade: calcule (\alpha\beta)\cdot(x,y). Pela definição,
(\alpha\beta)\cdot(x,y)=((\alpha\beta) x,\;y).
Agora calcule \alpha\cdot(\beta\cdot(x,y)). Primeiro \beta\cdot(x,y)=(\beta x,y). Aplicando \alpha temos
\alpha\cdot(\beta x,y)=(\alpha(\beta x),\;y)=((\alpha\beta) x,\;y).
As duas expressões coincidem, logo (\alpha\beta)\cdot v=\alpha\cdot(\beta\cdot v). \n
  • Identidade escalar: 1\cdot(x,y)=(1\cdot x,y)=(x,y). Então 1 age como identidade.

Passo 7

Distributividade escalar sobre soma de vetores (A9): \n
Verificamos \alpha\cdot((x,y)+(x_1,y_1)) versus \alpha\cdot(x,y)+\alpha\cdot(x_1,y_1). \n
  • Primeiro,
\alpha\cdot((x,y)+(x_1,y_1))=\alpha\cdot(x+x_1,\;y+y_1)=(\alpha(x+x_1),\;y+y_1).
  • Segundo,
\alpha\cdot(x,y)+\alpha\cdot(x_1,y_1)=(\alpha x,y)+(\alpha x_1,y_1)=(\alpha x+\alpha x_1,\;y+y_1)=(\alpha(x+x_1),\;y+y_1).
As duas são iguais, então a distributividade \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v vale.

Passo 8

Distributividade sobre a soma de escalares (A10) — checagem crítica: \n
Vamos comparar (\alpha+\beta)\cdot(x,y) com \alpha\cdot(x,y)+\beta\cdot(x,y). \n
  • Pela definição,
(\alpha+\beta)\cdot(x,y)=((\alpha+\beta)x,\;y).
\alpha\cdot(x,y)+\beta\cdot(x,y)=(\alpha x,y)+(\beta x,y)=(\alpha x+\beta x,\;y+y)=((\alpha+\beta)x,\;2y).
Portanto, em geral,
(\alpha+\beta)\cdot(x,y)=((\alpha+\beta)x,\;y)\neq((\alpha+\beta)x,\;2y)=\alpha\cdot(x,y)+\beta\cdot(x,y),
salvo no caso especial em que y=0. Assim o axioma (A10) falha para vetores com segunda coordenada diferente de zero.

Passo 9

Contraexemplo numérico (para ficar bem claro): escolha \alpha=1, \beta=1 e v=(1,1). \n
  • (\alpha+\beta)\cdot v=(2)\cdot(1,1)=(2\cdot1,\;1)=(2,1). \n
  • \alpha\cdot v+\beta\cdot v=(1\cdot(1,1))+(1\cdot(1,1))=(1,1)+(1,1)=(2,2). \n
    Como (2,1)\neq(2,2), a igualdade exigida pelo axioma (A10) não ocorre. Logo a estrutura não satisfaz todos os axiomas.

Passo 10

Conclusão lógica e final (resumo didático): \n
Para ser espaço vetorial todos os axiomas devem valer. Nós verificamos que muitas propriedades padrão (fechamento, comutatividade, associatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, compatibilidade de escalares e distributividade \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v, etc.) são satisfeitas. Porém um axioma fundamental, a distributividade relativa à soma de escalares (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v, falha em geral porque a definição de multiplicação por escalar altera só a primeira coordenada e deixa a segunda fixa, enquanto a soma de dois produtos escalares dobra a segunda coordenada. Como falha pelo menos um axioma, a estrutura não é um espaço vetorial.

Resposta

Não, V com as operações dadas não é um espaço vetorial.

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