Seja
. Para
e
em
e
, defina
Com essas operações
é um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado dá o espaço
com as operações
e
A pergunta é: com essas operações,
é um espaço vetorial? \n
As informações relevantes que temos são exatamente as definições acima da soma e da multiplicação por escalar.
As informações relevantes que temos são exatamente as definições acima da soma e da multiplicação por escalar.
Passo 2
O que precisamos fazer (aula rápida antes de aplicar): um conjunto com operações forma um espaço vetorial sobre
se satisfaz um conjunto de propriedades (axiomas). Vou listar os axiomas que vou verificar — cada símbolo vai aparecer depois com explicação:
Cada letra
representa um elemento de
(isto é, um par
) e
são escalares. Vou checar esses itens um a um; se qualquer um falhar, então não é espaço vetorial.
Passo 3
Fechamento da soma e da multiplicação por escalar (A1 e A6): \n
- Soma: dadas
e em , a soma definida é , que é claramente um par de reais, portanto está em . Logo há fechamento da soma. \n - Multiplicação por escalar: para
e temos , que também é um par de reais, logo está em . Portanto há fechamento na multiplicação por escalar.
Passo 4
Comutatividade e associatividade da soma (A2 e A3): \n
- Comutatividade:
. Então a soma é comutativa. \n - Associatividade: calcule
. Pela definição,
Do outro lado,
As duas expressões são iguais, logo a soma é associativa.
Passo 5
Neutro aditivo e inverso aditivo (A4 e A5): \n
- Neutro: procuramos
tal que para todo . Pela definição da soma isso dá , então e . Assim funciona. \n - Inverso: dado
, queremos com . Isso exige e , logo e . Portanto o inverso aditivo é e existe para todo vetor.
Passo 6
Compatibilidade da multiplicação por escalares e identidade escalar (A7 e A8): \n
- Compatibilidade: calcule
. Pela definição,
Agora calcule
. Primeiro
. Aplicando
temos
As duas expressões coincidem, logo
. \n
- Identidade escalar:
. Então age como identidade.
Passo 7
Distributividade escalar sobre soma de vetores (A9): \n
Verificamos versus
. \n
Verificamos
- Primeiro,
- Segundo,
As duas são iguais, então a distributividade
vale.
Passo 8
Distributividade sobre a soma de escalares (A10) — checagem crítica: \n
Vamos comparar com
. \n
Vamos comparar
- Pela definição,
- Já
Portanto, em geral,
salvo no caso especial em que
. Assim o axioma (A10) falha para vetores com segunda coordenada diferente de zero.
Passo 9
Contraexemplo numérico (para ficar bem claro): escolha
,
e
. \n
-
\n -
\n
Como, a igualdade exigida pelo axioma (A10) não ocorre. Logo a estrutura não satisfaz todos os axiomas.
Passo 10
Conclusão lógica e final (resumo didático): \n
Para ser espaço vetorial todos os axiomas devem valer. Nós verificamos que muitas propriedades padrão (fechamento, comutatividade, associatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, compatibilidade de escalares e distributividade , etc.) são satisfeitas. Porém um axioma fundamental, a distributividade relativa à soma de escalares
, falha em geral porque a definição de multiplicação por escalar altera só a primeira coordenada e deixa a segunda fixa, enquanto a soma de dois produtos escalares dobra a segunda coordenada. Como falha pelo menos um axioma, a estrutura não é um espaço vetorial.
Para ser espaço vetorial todos os axiomas devem valer. Nós verificamos que muitas propriedades padrão (fechamento, comutatividade, associatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, compatibilidade de escalares e distributividade
Resposta
Não,
com as operações dadas não é um espaço vetorial.